გადაწყვიტეთ {l}{x+6y=27}{7x-3y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 6 y = 27 } \\ { 7 x - 3 y = 9 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=3$$

$$y=4$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$x+6y=27,7x-3y=9$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$x+6y=27$$

გამოაკელით 6y განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=-6y+27$$

ჩაანაცვლეთ -6y+27-ით x მეორე განტოლებაში, 7x-3y=9.

$$7\left(-6y+27\right)-3y=9$$

გაამრავლეთ 7-ზე -6y+27.

$$-42y+189-3y=9$$

მიუმატეთ -42y -3y-ს.

$$-45y+189=9$$

გამოაკელით 189 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-45y=-180$$

ორივე მხარე გაყავით -45-ზე.

$$y=4$$

ჩაანაცვლეთ 4-ით y აქ: x=-6y+27. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-6\times 4+27$$

გაამრავლეთ -6-ზე 4.

$$x=-24+27$$

მიუმატეთ 27 -24-ს.

$$x=3$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=3,y=4$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$x+6y=27,7x-3y=9$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&6\\7&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}27\\9\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&6\\7&-3\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&6\\7&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&6\\7&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&6\\7&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\9\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&6\\7&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\9\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&6\\7&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-6\times 7}&-\frac{6}{-3-6\times 7}\\-\frac{7}{-3-6\times 7}&\frac{1}{-3-6\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\9\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}&\frac{2}{15}\\\frac{7}{45}&-\frac{1}{45}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\9\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}\times 27+\frac{2}{15}\times 9\\\frac{7}{45}\times 27-\frac{1}{45}\times 9\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=3,y=4$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$x+6y=27,7x-3y=9$$

იმისათვის, რომ x და 7x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 7-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე.

$$7x+7\times 6y=7\times 27,7x-3y=9$$

გაამარტივეთ.

$$7x+42y=189,7x-3y=9$$

გამოაკელით 7x-3y=9 7x+42y=189-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$7x-7x+42y+3y=189-9$$

მიუმატეთ 7x -7x-ს. პირობები 7x და -7x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$42y+3y=189-9$$

მიუმატეთ 42y 3y-ს.

$$45y=189-9$$

მიუმატეთ 189 -9-ს.

$$45y=180$$

ორივე მხარე გაყავით 45-ზე.

$$y=4$$

ჩაანაცვლეთ 4-ით y აქ: 7x-3y=9. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$7x-3\times 4=9$$

გაამრავლეთ -3-ზე 4.

$$7x-12=9$$

მიუმატეთ 12 განტოლების ორივე მხარეს.

$$7x=21$$

ორივე მხარე გაყავით 7-ზე.

$$x=3$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=3,y=4$$