გადაწყვიტეთ {l}{x+3y=26}{7x-2y=44}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 3 y = 26 } \\ { 7 x - 2 y = 44 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=8$$

$$y=6$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$x+3y=26,7x-2y=44$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$x+3y=26$$

გამოაკელით 3y განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=-3y+26$$

ჩაანაცვლეთ -3y+26-ით x მეორე განტოლებაში, 7x-2y=44.

$$7\left(-3y+26\right)-2y=44$$

გაამრავლეთ 7-ზე -3y+26.

$$-21y+182-2y=44$$

მიუმატეთ -21y -2y-ს.

$$-23y+182=44$$

გამოაკელით 182 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-23y=-138$$

ორივე მხარე გაყავით -23-ზე.

$$y=6$$

ჩაანაცვლეთ 6-ით y აქ: x=-3y+26. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-3\times 6+26$$

გაამრავლეთ -3-ზე 6.

$$x=-18+26$$

მიუმატეთ 26 -18-ს.

$$x=8$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=8,y=6$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$x+3y=26,7x-2y=44$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\7&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}26\\44\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&3\\7&-2\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\7&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\7&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\7&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}26\\44\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\7&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}26\\44\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\7&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}26\\44\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-3\times 7}&-\frac{3}{-2-3\times 7}\\-\frac{7}{-2-3\times 7}&\frac{1}{-2-3\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}26\\44\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{23}&\frac{3}{23}\\\frac{7}{23}&-\frac{1}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}26\\44\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{23}\times 26+\frac{3}{23}\times 44\\\frac{7}{23}\times 26-\frac{1}{23}\times 44\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=8,y=6$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$x+3y=26,7x-2y=44$$

იმისათვის, რომ x და 7x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 7-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე.

$$7x+7\times 3y=7\times 26,7x-2y=44$$

გაამარტივეთ.

$$7x+21y=182,7x-2y=44$$

გამოაკელით 7x-2y=44 7x+21y=182-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$7x-7x+21y+2y=182-44$$

მიუმატეთ 7x -7x-ს. პირობები 7x და -7x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$21y+2y=182-44$$

მიუმატეთ 21y 2y-ს.

$$23y=182-44$$

მიუმატეთ 182 -44-ს.

$$23y=138$$

ორივე მხარე გაყავით 23-ზე.

$$y=6$$

ჩაანაცვლეთ 6-ით y აქ: 7x-2y=44. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$7x-2\times 6=44$$

გაამრავლეთ -2-ზე 6.

$$7x-12=44$$

მიუმატეთ 12 განტოლების ორივე მხარეს.

$$7x=56$$

ორივე მხარე გაყავით 7-ზე.

$$x=8$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=8,y=6$$