გადაწყვიტეთ {l}{x+2y=7}{3x-y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 7 } \\ { 3 x - y = 9 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{25}{7} = 3\frac{4}{7} \approx 3.571428571$$

$$y = \frac{12}{7} = 1\frac{5}{7} \approx 1.714285714$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$x+2y=7,3x-y=9$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$x+2y=7$$

გამოაკელით 2y განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=-2y+7$$

ჩაანაცვლეთ -2y+7-ით x მეორე განტოლებაში, 3x-y=9.

$$3\left(-2y+7\right)-y=9$$

გაამრავლეთ 3-ზე -2y+7.

$$-6y+21-y=9$$

მიუმატეთ -6y -y-ს.

$$-7y+21=9$$

გამოაკელით 21 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-7y=-12$$

ორივე მხარე გაყავით -7-ზე.

$$y=\frac{12}{7}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{12}{7}-ით y აქ: x=-2y+7. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-2\times \frac{12}{7}+7$$

გაამრავლეთ -2-ზე \frac{12}{7}.

$$x=-\frac{24}{7}+7$$

მიუმატეთ 7 -\frac{24}{7}-ს.

$$x=\frac{25}{7}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{25}{7},y=\frac{12}{7}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$x+2y=7,3x-y=9$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2\times 3}&-\frac{2}{-1-2\times 3}\\-\frac{3}{-1-2\times 3}&\frac{1}{-1-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\\\frac{3}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 7+\frac{2}{7}\times 9\\\frac{3}{7}\times 7-\frac{1}{7}\times 9\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{7}\\\frac{12}{7}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{25}{7},y=\frac{12}{7}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$x+2y=7,3x-y=9$$

იმისათვის, რომ x და 3x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე.

$$3x+3\times 2y=3\times 7,3x-y=9$$

გაამარტივეთ.

$$3x+6y=21,3x-y=9$$

გამოაკელით 3x-y=9 3x+6y=21-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$3x-3x+6y+y=21-9$$

მიუმატეთ 3x -3x-ს. პირობები 3x და -3x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$6y+y=21-9$$

მიუმატეთ 6y y-ს.

$$7y=21-9$$

მიუმატეთ 21 -9-ს.

$$7y=12$$

ორივე მხარე გაყავით 7-ზე.

$$y=\frac{12}{7}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{12}{7}-ით y აქ: 3x-y=9. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$3x-\frac{12}{7}=9$$

მიუმატეთ \frac{12}{7} განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=\frac{75}{7}$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=\frac{25}{7}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{25}{7},y=\frac{12}{7}$$