გადაწყვიტეთ {l}{x+2y=4}{9x-62y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 4 } \\ { 9 x - 62 y = 10 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{67}{20} = 3\frac{7}{20} = 3.35$$

$$y=\frac{13}{40}=0.325$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$x+2y=4,9x-62y=10$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$x+2y=4$$

გამოაკელით 2y განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=-2y+4$$

ჩაანაცვლეთ -2y+4-ით x მეორე განტოლებაში, 9x-62y=10.

$$9\left(-2y+4\right)-62y=10$$

გაამრავლეთ 9-ზე -2y+4.

$$-18y+36-62y=10$$

მიუმატეთ -18y -62y-ს.

$$-80y+36=10$$

გამოაკელით 36 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-80y=-26$$

ორივე მხარე გაყავით -80-ზე.

$$y=\frac{13}{40}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{13}{40}-ით y აქ: x=-2y+4. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-2\times \frac{13}{40}+4$$

გაამრავლეთ -2-ზე \frac{13}{40}.

$$x=-\frac{13}{20}+4$$

მიუმატეთ 4 -\frac{13}{20}-ს.

$$x=\frac{67}{20}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{67}{20},y=\frac{13}{40}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$x+2y=4,9x-62y=10$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\9&-62\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&2\\9&-62\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\9&-62\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\9&-62\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\9&-62\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\9&-62\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\9&-62\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{62}{-62-2\times 9}&-\frac{2}{-62-2\times 9}\\-\frac{9}{-62-2\times 9}&\frac{1}{-62-2\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{31}{40}&\frac{1}{40}\\\frac{9}{80}&-\frac{1}{80}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{31}{40}\times 4+\frac{1}{40}\times 10\\\frac{9}{80}\times 4-\frac{1}{80}\times 10\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{67}{20}\\\frac{13}{40}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{67}{20},y=\frac{13}{40}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$x+2y=4,9x-62y=10$$

იმისათვის, რომ x და 9x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 9-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე.

$$9x+9\times 2y=9\times 4,9x-62y=10$$

გაამარტივეთ.

$$9x+18y=36,9x-62y=10$$

გამოაკელით 9x-62y=10 9x+18y=36-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$9x-9x+18y+62y=36-10$$

მიუმატეთ 9x -9x-ს. პირობები 9x და -9x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$18y+62y=36-10$$

მიუმატეთ 18y 62y-ს.

$$80y=36-10$$

მიუმატეთ 36 -10-ს.

$$80y=26$$

ორივე მხარე გაყავით 80-ზე.

$$y=\frac{13}{40}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{13}{40}-ით y აქ: 9x-62y=10. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$9x-62\times \frac{13}{40}=10$$

გაამრავლეთ -62-ზე \frac{13}{40}.

$$9x-\frac{403}{20}=10$$

მიუმატეთ \frac{403}{20} განტოლების ორივე მხარეს.

$$9x=\frac{603}{20}$$

ორივე მხარე გაყავით 9-ზე.

$$x=\frac{67}{20}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{67}{20},y=\frac{13}{40}$$