გადაწყვიტეთ {l}{x+2y=-8}{y=-3/2x-2}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = - 8 } \\ { y = - \frac { 3 } { 2 } x - 2 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=2$$

$$y=-5$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. დაამატეთ \frac{3}{2}x ორივე მხარეს.

$$y+\frac{3}{2}x=-2$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$x+2y=-8,\frac{3}{2}x+y=-2$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$x+2y=-8$$

გამოაკელით 2y განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=-2y-8$$

ჩაანაცვლეთ -2y-8-ით x მეორე განტოლებაში, \frac{3}{2}x+y=-2.

$$\frac{3}{2}\left(-2y-8\right)+y=-2$$

გაამრავლეთ \frac{3}{2}-ზე -2y-8.

$$-3y-12+y=-2$$

მიუმატეთ -3y y-ს.

$$-2y-12=-2$$

მიუმატეთ 12 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-2y=10$$

ორივე მხარე გაყავით -2-ზე.

$$y=-5$$

ჩაანაცვლეთ -5-ით y აქ: x=-2y-8. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-2\left(-5\right)-8$$

გაამრავლეთ -2-ზე -5.

$$x=10-8$$

მიუმატეთ -8 10-ს.

$$x=2$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=2,y=-5$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. დაამატეთ \frac{3}{2}x ორივე მხარეს.

$$y+\frac{3}{2}x=-2$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$x+2y=-8,\frac{3}{2}x+y=-2$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\\frac{3}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&2\\\frac{3}{2}&1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\\frac{3}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\\frac{3}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\\frac{3}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\\frac{3}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\\frac{3}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2\times \frac{3}{2}}&-\frac{2}{1-2\times \frac{3}{2}}\\-\frac{\frac{3}{2}}{1-2\times \frac{3}{2}}&\frac{1}{1-2\times \frac{3}{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&1\\\frac{3}{4}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-2\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\left(-8\right)-2\\\frac{3}{4}\left(-8\right)-\frac{1}{2}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=2,y=-5$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. დაამატეთ \frac{3}{2}x ორივე მხარეს.

$$y+\frac{3}{2}x=-2$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$x+2y=-8,\frac{3}{2}x+y=-2$$

იმისათვის, რომ x და \frac{3x}{2} ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს \frac{3}{2}-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე.

$$\frac{3}{2}x+\frac{3}{2}\times 2y=\frac{3}{2}\left(-8\right),\frac{3}{2}x+y=-2$$

გაამარტივეთ.

$$\frac{3}{2}x+3y=-12,\frac{3}{2}x+y=-2$$

გამოაკელით \frac{3}{2}x+y=-2 \frac{3}{2}x+3y=-12-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$\frac{3}{2}x-\frac{3}{2}x+3y-y=-12+2$$

მიუმატეთ \frac{3x}{2} -\frac{3x}{2}-ს. პირობები \frac{3x}{2} და -\frac{3x}{2} გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$3y-y=-12+2$$

მიუმატეთ 3y -y-ს.

$$2y=-12+2$$

მიუმატეთ -12 2-ს.

$$2y=-10$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$y=-5$$

ჩაანაცვლეთ -5-ით y აქ: \frac{3}{2}x+y=-2. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$\frac{3}{2}x-5=-2$$

მიუმატეთ 5 განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{3}{2}x=3$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{3}{2}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x=2$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=2,y=-5$$