გადაწყვიტეთ {l}{x+2y+3=0}{4x+5y+6=0}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y + 3 = 0 } \\ { 4 x + 5 y + 6 = 0 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=1$$

$$y=-2$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$x+2y+3=0,4x+5y+6=0$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$x+2y+3=0$$

გამოაკელით 3 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x+2y=-3$$

გამოაკელით 2y განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=-2y-3$$

ჩაანაცვლეთ -2y-3-ით x მეორე განტოლებაში, 4x+5y+6=0.

$$4\left(-2y-3\right)+5y+6=0$$

გაამრავლეთ 4-ზე -2y-3.

$$-8y-12+5y+6=0$$

მიუმატეთ -8y 5y-ს.

$$-3y-12+6=0$$

მიუმატეთ -12 6-ს.

$$-3y-6=0$$

მიუმატეთ 6 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-3y=6$$

ორივე მხარე გაყავით -3-ზე.

$$y=-2$$

ჩაანაცვლეთ -2-ით y აქ: x=-2y-3. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-2\left(-2\right)-3$$

გაამრავლეთ -2-ზე -2.

$$x=4-3$$

მიუმატეთ -3 4-ს.

$$x=1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=1,y=-2$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$x+2y+3=0,4x+5y+6=0$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-6\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-6\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-6\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-2\times 4}&-\frac{2}{5-2\times 4}\\-\frac{4}{5-2\times 4}&\frac{1}{5-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-6\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-6\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3}\left(-3\right)+\frac{2}{3}\left(-6\right)\\\frac{4}{3}\left(-3\right)-\frac{1}{3}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=1,y=-2$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$x+2y+3=0,4x+5y+6=0$$

იმისათვის, რომ x და 4x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 4-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე.

$$4x+4\times 2y+4\times 3=0,4x+5y+6=0$$

გაამარტივეთ.

$$4x+8y+12=0,4x+5y+6=0$$

გამოაკელით 4x+5y+6=0 4x+8y+12=0-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$4x-4x+8y-5y+12-6=0$$

მიუმატეთ 4x -4x-ს. პირობები 4x და -4x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$8y-5y+12-6=0$$

მიუმატეთ 8y -5y-ს.

$$3y+12-6=0$$

მიუმატეთ 12 -6-ს.

$$3y+6=0$$

გამოაკელით 6 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3y=-6$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$y=-2$$

ჩაანაცვლეთ -2-ით y აქ: 4x+5y+6=0. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$4x+5\left(-2\right)+6=0$$

გაამრავლეთ 5-ზე -2.

$$4x-10+6=0$$

მიუმატეთ -10 6-ს.

$$4x-4=0$$

მიუმატეთ 4 განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x=4$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$x=1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=1,y=-2$$