გადაწყვიტეთ {l}{t+2s=-1}{s=t+10}

$$\left. \begin{array} { l } { t + 2 s = - 1 } \\ { s = t + 10 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა t, s-ისთვის

$$t=-7$$

$$s=3$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით t ორივე მხარეს.

$$s-t=10$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$t+2s=-1,-t+s=10$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი t-ისთვის, t-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$t+2s=-1$$

გამოაკელით 2s განტოლების ორივე მხარეს.

$$t=-2s-1$$

ჩაანაცვლეთ -2s-1-ით t მეორე განტოლებაში, -t+s=10.

$$-\left(-2s-1\right)+s=10$$

გაამრავლეთ -1-ზე -2s-1.

$$2s+1+s=10$$

მიუმატეთ 2s s-ს.

$$3s+1=10$$

გამოაკელით 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3s=9$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$s=3$$

ჩაანაცვლეთ 3-ით s აქ: t=-2s-1. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ t.

$$t=-2\times 3-1$$

გაამრავლეთ -2-ზე 3.

$$t=-6-1$$

მიუმატეთ -1 -6-ს.

$$t=-7$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$t=-7,s=3$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით t ორივე მხარეს.

$$s-t=10$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$t+2s=-1,-t+s=10$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}t\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\10\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}t\\s\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\10\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}t\\s\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\10\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}t\\s\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}t\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2\left(-1\right)}&-\frac{2}{1-2\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{1-2\left(-1\right)}&\frac{1}{1-2\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\10\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}t\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\10\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}t\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\left(-1\right)-\frac{2}{3}\times 10\\\frac{1}{3}\left(-1\right)+\frac{1}{3}\times 10\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}t\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\3\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - t და s.

$$t=-7,s=3$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით t ორივე მხარეს.

$$s-t=10$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$t+2s=-1,-t+s=10$$

იმისათვის, რომ t და -t ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -1-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე.

$$-t-2s=-\left(-1\right),-t+s=10$$

გაამარტივეთ.

$$-t-2s=1,-t+s=10$$

გამოაკელით -t+s=10 -t-2s=1-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-t+t-2s-s=1-10$$

მიუმატეთ -t t-ს. პირობები -t და t გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-2s-s=1-10$$

მიუმატეთ -2s -s-ს.

$$-3s=1-10$$

მიუმატეთ 1 -10-ს.

$$-3s=-9$$

ორივე მხარე გაყავით -3-ზე.

$$s=3$$

ჩაანაცვლეთ 3-ით s აქ: -t+s=10. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ t.

$$-t+3=10$$

გამოაკელით 3 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-t=7$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$t=-7$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$t=-7,s=3$$