გადაწყვიტეთ {l}{p+b=130}{p+1.09b=136.75}

$$\left. \begin{array} { l } { p + b = 130 } \\ { p + 1.09 b = 136.75 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა p, b-ისთვის

$$p=55$$

$$b=75$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$p+b=130,p+1.09b=136.75$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი p-ისთვის, p-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$p+b=130$$

გამოაკელით b განტოლების ორივე მხარეს.

$$p=-b+130$$

ჩაანაცვლეთ -b+130-ით p მეორე განტოლებაში, p+1.09b=136.75.

$$-b+130+1.09b=136.75$$

მიუმატეთ -b \frac{109b}{100}-ს.

$$0.09b+130=136.75$$

გამოაკელით 130 განტოლების ორივე მხარეს.

$$0.09b=6.75$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით 0.09-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$b=75$$

ჩაანაცვლეთ 75-ით b აქ: p=-b+130. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ p.

$$p=-75+130$$

მიუმატეთ 130 -75-ს.

$$p=55$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$p=55,b=75$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$p+b=130,p+1.09b=136.75$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&1.09\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}130\\136.75\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&1\\1&1.09\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&1.09\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&1.09\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&1.09\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\136.75\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&1.09\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\136.75\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}p\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&1.09\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\136.75\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}p\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1.09}{1.09-1}&-\frac{1}{1.09-1}\\-\frac{1}{1.09-1}&\frac{1}{1.09-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\136.75\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}p\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{109}{9}&-\frac{100}{9}\\-\frac{100}{9}&\frac{100}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\136.75\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}p\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{109}{9}\times 130-\frac{100}{9}\times 136.75\\-\frac{100}{9}\times 130+\frac{100}{9}\times 136.75\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}p\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}55\\75\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - p და b.

$$p=55,b=75$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$p+b=130,p+1.09b=136.75$$

გამოაკელით p+1.09b=136.75 p+b=130-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$p-p+b-1.09b=130-136.75$$

მიუმატეთ p -p-ს. პირობები p და -p გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$b-1.09b=130-136.75$$

მიუმატეთ b -\frac{109b}{100}-ს.

$$-0.09b=130-136.75$$

მიუმატეთ 130 -136.75-ს.

$$-0.09b=-6.75$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -0.09-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$b=75$$

ჩაანაცვლეთ 75-ით b აქ: p+1.09b=136.75. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ p.

$$p+1.09\times 75=136.75$$

გაამრავლეთ 1.09-ზე 75.

$$p+81.75=136.75$$

გამოაკელით 81.75 განტოლების ორივე მხარეს.

$$p=55$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$p=55,b=75$$