გადაწყვიტეთ {l}{p+2q=4}{-3p+4q=18}

$$\left. \begin{array} { l } { p + 2 q = 4 } \\ { - 3 p + 4 q = 18 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა p, q-ისთვის

$$p=-2$$

$$q=3$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$p+2q=4,-3p+4q=18$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი p-ისთვის, p-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$p+2q=4$$

გამოაკელით 2q განტოლების ორივე მხარეს.

$$p=-2q+4$$

ჩაანაცვლეთ -2q+4-ით p მეორე განტოლებაში, -3p+4q=18.

$$-3\left(-2q+4\right)+4q=18$$

გაამრავლეთ -3-ზე -2q+4.

$$6q-12+4q=18$$

მიუმატეთ 6q 4q-ს.

$$10q-12=18$$

მიუმატეთ 12 განტოლების ორივე მხარეს.

$$10q=30$$

ორივე მხარე გაყავით 10-ზე.

$$q=3$$

ჩაანაცვლეთ 3-ით q აქ: p=-2q+4. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ p.

$$p=-2\times 3+4$$

გაამრავლეთ -2-ზე 3.

$$p=-6+4$$

მიუმატეთ 4 -6-ს.

$$p=-2$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$p=-2,q=3$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$p+2q=4,-3p+4q=18$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-2\left(-3\right)}&-\frac{2}{4-2\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{4-2\left(-3\right)}&\frac{1}{4-2\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\\frac{3}{10}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 4-\frac{1}{5}\times 18\\\frac{3}{10}\times 4+\frac{1}{10}\times 18\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - p და q.

$$p=-2,q=3$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$p+2q=4,-3p+4q=18$$

იმისათვის, რომ p და -3p ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -3-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე.

$$-3p-3\times 2q=-3\times 4,-3p+4q=18$$

გაამარტივეთ.

$$-3p-6q=-12,-3p+4q=18$$

გამოაკელით -3p+4q=18 -3p-6q=-12-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-3p+3p-6q-4q=-12-18$$

მიუმატეთ -3p 3p-ს. პირობები -3p და 3p გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-6q-4q=-12-18$$

მიუმატეთ -6q -4q-ს.

$$-10q=-12-18$$

მიუმატეთ -12 -18-ს.

$$-10q=-30$$

ორივე მხარე გაყავით -10-ზე.

$$q=3$$

ჩაანაცვლეთ 3-ით q აქ: -3p+4q=18. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ p.

$$-3p+4\times 3=18$$

გაამრავლეთ 4-ზე 3.

$$-3p+12=18$$

გამოაკელით 12 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-3p=6$$

ორივე მხარე გაყავით -3-ზე.

$$p=-2$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$p=-2,q=3$$