გადაწყვიტეთ {l}{mx-y-3m+1=0}{x+my-3m-1=0}

$$\left. \begin{array} { l } { m x - y - 3 m + 1 = 0 } \\ { x + m y - 3 m - 1 = 0 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}$$

$$y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$mx-y+1-3m=0,x+my-3m-1=0$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$mx-y+1-3m=0$$

გამოაკელით -3m+1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$mx-y=3m-1$$

მიუმატეთ y განტოლების ორივე მხარეს.

$$mx=y+3m-1$$

ორივე მხარე გაყავით m-ზე.

$$x=\frac{1}{m}\left(y+3m-1\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{m}-ზე y+3m-1.

$$x=\frac{1}{m}y+3-\frac{1}{m}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{y-1+3m}{m}-ით x მეორე განტოლებაში, x+my-3m-1=0.

$$\frac{1}{m}y+3-\frac{1}{m}+my-3m-1=0$$

მიუმატეთ \frac{y}{m} my-ს.

$$\left(m+\frac{1}{m}\right)y+3-\frac{1}{m}-3m-1=0$$

მიუმატეთ 3-\frac{1}{m} -3m-1-ს.

$$\left(m+\frac{1}{m}\right)y-3m+2-\frac{1}{m}=0$$

გამოაკელით 2-\frac{1}{m}-3m განტოლების ორივე მხარეს.

$$\left(m+\frac{1}{m}\right)y=3m-2+\frac{1}{m}$$

ორივე მხარე გაყავით m+\frac{1}{m}-ზე.

$$y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{3m^{2}+1-2m}{m^{2}+1}-ით y აქ: x=\frac{1}{m}y+3-\frac{1}{m}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{1}{m}\times \frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}+3-\frac{1}{m}$$

გაამრავლეთ \frac{1}{m}-ზე \frac{3m^{2}+1-2m}{m^{2}+1}.

$$x=\frac{3m^{2}-2m+1}{m\left(m^{2}+1\right)}+3-\frac{1}{m}$$

მიუმატეთ 3-\frac{1}{m} \frac{3m^{2}+1-2m}{m\left(m^{2}+1\right)}-ს.

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1},y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$mx-y+1-3m=0,x+my-3m-1=0$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{mm-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{mm-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{mm-\left(-1\right)}&\frac{m}{mm-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{m^{2}+1}&\frac{1}{m^{2}+1}\\-\frac{1}{m^{2}+1}&\frac{m}{m^{2}+1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{m^{2}+1}\left(3m-1\right)+\frac{1}{m^{2}+1}\left(3m+1\right)\\\left(-\frac{1}{m^{2}+1}\right)\left(3m-1\right)+\frac{m}{m^{2}+1}\left(3m+1\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}\\\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1},y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$mx-y+1-3m=0,x+my-3m-1=0$$

იმისათვის, რომ mx და x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს m-ზე.

$$mx-y+1-3m=0,mx+mmy+m\left(-3m-1\right)=0$$

გაამარტივეთ.

$$mx-y+1-3m=0,mx+m^{2}y-m\left(3m+1\right)=0$$

გამოაკელით mx+m^{2}y-m\left(3m+1\right)=0 mx-y+1-3m=0-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$mx+\left(-m\right)x-y+\left(-m^{2}\right)y+1-3m+m\left(3m+1\right)=0$$

მიუმატეთ mx -mx-ს. პირობები mx და -mx გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-y+\left(-m^{2}\right)y+1-3m+m\left(3m+1\right)=0$$

მიუმატეთ -y -m^{2}y-ს.

$$\left(-m^{2}-1\right)y+1-3m+m\left(3m+1\right)=0$$

მიუმატეთ -3m+1 m\left(3m+1\right)-ს.

$$\left(-m^{2}-1\right)y+3m^{2}-2m+1=0$$

გამოაკელით -2m+1+3m^{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\left(-m^{2}-1\right)y=-3m^{2}+2m-1$$

ორივე მხარე გაყავით -1-m^{2}-ზე.

$$y=-\frac{-3m^{2}+2m-1}{m^{2}+1}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{2m-1-3m^{2}}{1+m^{2}}-ით y აქ: x+my-3m-1=0. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x+m\left(-\frac{-3m^{2}+2m-1}{m^{2}+1}\right)-3m-1=0$$

გაამრავლეთ m-ზე -\frac{2m-1-3m^{2}}{1+m^{2}}.

$$x-\frac{m\left(-3m^{2}+2m-1\right)}{m^{2}+1}-3m-1=0$$

მიუმატეთ -\frac{m\left(2m-1-3m^{2}\right)}{1+m^{2}} -3m-1-ს.

$$x-\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}=0$$

მიუმატეთ \frac{2m+3m^{2}+1}{1+m^{2}} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1},y=-\frac{-3m^{2}+2m-1}{m^{2}+1}$$