გადაწყვიტეთ {l}{m+2n=5}{n-2m+2=7}

$$\left. \begin{array} { l } { m + 2 n = 5 } \\ { n - 2 m + 2 = 7 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა m, n-ისთვის

$$m=-1$$

$$n=3$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$m+2n=5,-2m+n+2=7$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი m-ისთვის, m-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$m+2n=5$$

გამოაკელით 2n განტოლების ორივე მხარეს.

$$m=-2n+5$$

ჩაანაცვლეთ -2n+5-ით m მეორე განტოლებაში, -2m+n+2=7.

$$-2\left(-2n+5\right)+n+2=7$$

გაამრავლეთ -2-ზე -2n+5.

$$4n-10+n+2=7$$

მიუმატეთ 4n n-ს.

$$5n-10+2=7$$

მიუმატეთ -10 2-ს.

$$5n-8=7$$

მიუმატეთ 8 განტოლების ორივე მხარეს.

$$5n=15$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$n=3$$

ჩაანაცვლეთ 3-ით n აქ: m=-2n+5. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ m.

$$m=-2\times 3+5$$

გაამრავლეთ -2-ზე 3.

$$m=-6+5$$

მიუმატეთ 5 -6-ს.

$$m=-1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$m=-1,n=3$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$m+2n=5,-2m+n+2=7$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2\left(-2\right)}&-\frac{2}{1-2\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{1-2\left(-2\right)}&\frac{1}{1-2\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\\\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 5-\frac{2}{5}\times 5\\\frac{2}{5}\times 5+\frac{1}{5}\times 5\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - m და n.

$$m=-1,n=3$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$m+2n=5,-2m+n+2=7$$

იმისათვის, რომ m და -2m ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -2-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე.

$$-2m-2\times 2n=-2\times 5,-2m+n+2=7$$

გაამარტივეთ.

$$-2m-4n=-10,-2m+n+2=7$$

გამოაკელით -2m+n+2=7 -2m-4n=-10-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-2m+2m-4n-n-2=-10-7$$

მიუმატეთ -2m 2m-ს. პირობები -2m და 2m გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-4n-n-2=-10-7$$

მიუმატეთ -4n -n-ს.

$$-5n-2=-10-7$$

მიუმატეთ -10 -7-ს.

$$-5n-2=-17$$

მიუმატეთ 2 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-5n=-15$$

ორივე მხარე გაყავით -5-ზე.

$$n=3$$

ჩაანაცვლეთ 3-ით n აქ: -2m+n+2=7. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ m.

$$-2m+3+2=7$$

მიუმატეთ 3 2-ს.

$$-2m+5=7$$

გამოაკელით 5 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-2m=2$$

ორივე მხარე გაყავით -2-ზე.

$$m=-1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$m=-1,n=3$$