გადაწყვიტეთ {l}{h=2c-3}{201=3h+1.5c}

$$\left. \begin{array} { l } { h = 2 c - 3 } \\ { 201 = 3 h + 1.5 c } \end{array} \right.$$

ამოხსნა h, c-ისთვის

$$h=53$$

$$c=28$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 2c ორივე მხარეს.

$$h-2c=-3$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. შეუცვალეთ ადგილები ისე, რომ ყველა ცვლადი წევრები მარცხენა მხარეს აღმოჩნდეს.

$$3h+1.5c=201$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$h-2c=-3,3h+1.5c=201$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი h-ისთვის, h-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$h-2c=-3$$

მიუმატეთ 2c განტოლების ორივე მხარეს.

$$h=2c-3$$

ჩაანაცვლეთ 2c-3-ით h მეორე განტოლებაში, 3h+1.5c=201.

$$3\left(2c-3\right)+1.5c=201$$

გაამრავლეთ 3-ზე 2c-3.

$$6c-9+1.5c=201$$

მიუმატეთ 6c \frac{3c}{2}-ს.

$$7.5c-9=201$$

მიუმატეთ 9 განტოლების ორივე მხარეს.

$$7.5c=210$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით 7.5-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$c=28$$

ჩაანაცვლეთ 28-ით c აქ: h=2c-3. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ h.

$$h=2\times 28-3$$

გაამრავლეთ 2-ზე 28.

$$h=56-3$$

მიუმატეთ -3 56-ს.

$$h=53$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$h=53,c=28$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 2c ორივე მხარეს.

$$h-2c=-3$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. შეუცვალეთ ადგილები ისე, რომ ყველა ცვლადი წევრები მარცხენა მხარეს აღმოჩნდეს.

$$3h+1.5c=201$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$h-2c=-3,3h+1.5c=201$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\3&1.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}h\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\201\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&-2\\3&1.5\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&1.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\3&1.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}h\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&1.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\201\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}h\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&1.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\201\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}h\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&1.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\201\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}h\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1.5}{1.5-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{1.5-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{1.5-\left(-2\times 3\right)}&\frac{1}{1.5-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\201\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}h\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.2&\frac{4}{15}\\-0.4&\frac{2}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\201\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}h\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.2\left(-3\right)+\frac{4}{15}\times 201\\-0.4\left(-3\right)+\frac{2}{15}\times 201\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}h\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}53\\28\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - h და c.

$$h=53,c=28$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 2c ორივე მხარეს.

$$h-2c=-3$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. შეუცვალეთ ადგილები ისე, რომ ყველა ცვლადი წევრები მარცხენა მხარეს აღმოჩნდეს.

$$3h+1.5c=201$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$h-2c=-3,3h+1.5c=201$$

იმისათვის, რომ h და 3h ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე.

$$3h+3\left(-2\right)c=3\left(-3\right),3h+1.5c=201$$

გაამარტივეთ.

$$3h-6c=-9,3h+1.5c=201$$

გამოაკელით 3h+1.5c=201 3h-6c=-9-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$3h-3h-6c-1.5c=-9-201$$

მიუმატეთ 3h -3h-ს. პირობები 3h და -3h გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-6c-1.5c=-9-201$$

მიუმატეთ -6c -\frac{3c}{2}-ს.

$$-7.5c=-9-201$$

მიუმატეთ -9 -201-ს.

$$-7.5c=-210$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -7.5-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$c=28$$

ჩაანაცვლეთ 28-ით c აქ: 3h+1.5c=201. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ h.

$$3h+1.5\times 28=201$$

გაამრავლეთ 1.5-ზე 28.

$$3h+42=201$$

გამოაკელით 42 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3h=159$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$h=53$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$h=53,c=28$$