გადაწყვიტეთ {l}{f(x)=y+7}{f(y)=9x+8}

$$\left. \begin{array} { l } { f ( x ) = y + 7 } \\ { f ( y ) = 9 x + 8 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9}$$

$$y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

$$f\neq -3\text{ and }f\neq 3$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით y ორივე მხარეს.

$$fx-y=7$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 9x ორივე მხარეს.

$$fy-9x=8$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$fx-y=7$$

მიუმატეთ y განტოლების ორივე მხარეს.

$$fx=y+7$$

ორივე მხარე გაყავით f-ზე.

$$x=\frac{1}{f}\left(y+7\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{f}-ზე y+7.

$$x=\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{7+y}{f}-ით x მეორე განტოლებაში, -9x+fy=8.

$$-9\left(\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}\right)+fy=8$$

გაამრავლეთ -9-ზე \frac{7+y}{f}.

$$\left(-\frac{9}{f}\right)y-\frac{63}{f}+fy=8$$

მიუმატეთ -\frac{9y}{f} fy-ს.

$$\left(f-\frac{9}{f}\right)y-\frac{63}{f}=8$$

მიუმატეთ \frac{63}{f} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\left(f-\frac{9}{f}\right)y=8+\frac{63}{f}$$

ორივე მხარე გაყავით f-\frac{9}{f}-ზე.

$$y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{63+8f}{f^{2}-9}-ით y აქ: x=\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{1}{f}\times \frac{8f+63}{f^{2}-9}+\frac{7}{f}$$

გაამრავლეთ \frac{1}{f}-ზე \frac{63+8f}{f^{2}-9}.

$$x=\frac{8f+63}{f\left(f^{2}-9\right)}+\frac{7}{f}$$

მიუმატეთ \frac{7}{f} \frac{63+8f}{f\left(f^{2}-9\right)}-ს.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9},y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით y ორივე მხარეს.

$$fx-y=7$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 9x ორივე მხარეს.

$$fy-9x=8$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}&-\frac{-1}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}\\-\frac{-9}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}&\frac{f}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{f^{2}-9}&\frac{1}{f^{2}-9}\\\frac{9}{f^{2}-9}&\frac{f}{f^{2}-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{f^{2}-9}\times 7+\frac{1}{f^{2}-9}\times 8\\\frac{9}{f^{2}-9}\times 7+\frac{f}{f^{2}-9}\times 8\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7f+8}{f^{2}-9}\\\frac{8f+63}{f^{2}-9}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9},y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით y ორივე მხარეს.

$$fx-y=7$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 9x ორივე მხარეს.

$$fy-9x=8$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

იმისათვის, რომ fx და -9x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -9-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს f-ზე.

$$-9fx-9\left(-1\right)y=-9\times 7,f\left(-9\right)x+ffy=f\times 8$$

გაამარტივეთ.

$$\left(-9f\right)x+9y=-63,\left(-9f\right)x+f^{2}y=8f$$

გამოაკელით \left(-9f\right)x+f^{2}y=8f \left(-9f\right)x+9y=-63-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$\left(-9f\right)x+9fx+9y+\left(-f^{2}\right)y=-63-8f$$

მიუმატეთ -9fx 9fx-ს. პირობები -9fx და 9fx გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$9y+\left(-f^{2}\right)y=-63-8f$$

მიუმატეთ 9y -f^{2}y-ს.

$$\left(9-f^{2}\right)y=-63-8f$$

მიუმატეთ -63 -8f-ს.

$$\left(9-f^{2}\right)y=-8f-63$$

ორივე მხარე გაყავით -f^{2}+9-ზე.

$$y=-\frac{8f+63}{9-f^{2}}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{63+8f}{9-f^{2}}-ით y აქ: -9x+fy=8. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$-9x+f\left(-\frac{8f+63}{9-f^{2}}\right)=8$$

გაამრავლეთ f-ზე -\frac{63+8f}{9-f^{2}}.

$$-9x-\frac{f\left(8f+63\right)}{9-f^{2}}=8$$

მიუმატეთ \frac{f\left(63+8f\right)}{9-f^{2}} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-9x=\frac{9\left(7f+8\right)}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)}$$

ორივე მხარე გაყავით -9-ზე.

$$x=-\frac{7f+8}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{7f+8}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)},y=-\frac{8f+63}{9-f^{2}}$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9}$$

$$y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

$$|f|\neq 3$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით y ორივე მხარეს.

$$fx-y=7$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 9x ორივე მხარეს.

$$fy-9x=8$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$fx-y=7$$

მიუმატეთ y განტოლების ორივე მხარეს.

$$fx=y+7$$

ორივე მხარე გაყავით f-ზე.

$$x=\frac{1}{f}\left(y+7\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{f}-ზე y+7.

$$x=\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{7+y}{f}-ით x მეორე განტოლებაში, -9x+fy=8.

$$-9\left(\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}\right)+fy=8$$

გაამრავლეთ -9-ზე \frac{7+y}{f}.

$$\left(-\frac{9}{f}\right)y-\frac{63}{f}+fy=8$$

მიუმატეთ -\frac{9y}{f} fy-ს.

$$\left(f-\frac{9}{f}\right)y-\frac{63}{f}=8$$

მიუმატეთ \frac{63}{f} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\left(f-\frac{9}{f}\right)y=8+\frac{63}{f}$$

ორივე მხარე გაყავით f-\frac{9}{f}-ზე.

$$y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{63+8f}{f^{2}-9}-ით y აქ: x=\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{1}{f}\times \frac{8f+63}{f^{2}-9}+\frac{7}{f}$$

გაამრავლეთ \frac{1}{f}-ზე \frac{63+8f}{f^{2}-9}.

$$x=\frac{8f+63}{f\left(f^{2}-9\right)}+\frac{7}{f}$$

მიუმატეთ \frac{7}{f} \frac{63+8f}{f\left(f^{2}-9\right)}-ს.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9},y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით y ორივე მხარეს.

$$fx-y=7$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 9x ორივე მხარეს.

$$fy-9x=8$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}&-\frac{-1}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}\\-\frac{-9}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}&\frac{f}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{f^{2}-9}&\frac{1}{f^{2}-9}\\\frac{9}{f^{2}-9}&\frac{f}{f^{2}-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{f^{2}-9}\times 7+\frac{1}{f^{2}-9}\times 8\\\frac{9}{f^{2}-9}\times 7+\frac{f}{f^{2}-9}\times 8\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7f+8}{f^{2}-9}\\\frac{8f+63}{f^{2}-9}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9},y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით y ორივე მხარეს.

$$fx-y=7$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 9x ორივე მხარეს.

$$fy-9x=8$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

იმისათვის, რომ fx და -9x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -9-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს f-ზე.

$$-9fx-9\left(-1\right)y=-9\times 7,f\left(-9\right)x+ffy=f\times 8$$

გაამარტივეთ.

$$\left(-9f\right)x+9y=-63,\left(-9f\right)x+f^{2}y=8f$$

გამოაკელით \left(-9f\right)x+f^{2}y=8f \left(-9f\right)x+9y=-63-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$\left(-9f\right)x+9fx+9y+\left(-f^{2}\right)y=-63-8f$$

მიუმატეთ -9fx 9fx-ს. პირობები -9fx და 9fx გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$9y+\left(-f^{2}\right)y=-63-8f$$

მიუმატეთ 9y -f^{2}y-ს.

$$\left(9-f^{2}\right)y=-63-8f$$

მიუმატეთ -63 -8f-ს.

$$\left(9-f^{2}\right)y=-8f-63$$

ორივე მხარე გაყავით -f^{2}+9-ზე.

$$y=-\frac{8f+63}{9-f^{2}}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{63+8f}{9-f^{2}}-ით y აქ: -9x+fy=8. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$-9x+f\left(-\frac{8f+63}{9-f^{2}}\right)=8$$

გაამრავლეთ f-ზე -\frac{63+8f}{9-f^{2}}.

$$-9x-\frac{f\left(8f+63\right)}{9-f^{2}}=8$$

მიუმატეთ \frac{f\left(63+8f\right)}{9-f^{2}} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-9x=\frac{9\left(7f+8\right)}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)}$$

ორივე მხარე გაყავით -9-ზე.

$$x=-\frac{7f+8}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{7f+8}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)},y=-\frac{8f+63}{9-f^{2}}$$