გადაწყვიტეთ {l}{ax+by=c}{a^2x+b^2y=c}

$$\left. \begin{array} { l } { a x + b y = c } \\ { a ^ { 2 } x + b ^ { 2 } y = c } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{c\left(1-b\right)}{a\left(b-a\right)}\text{, }y=-\frac{c\left(a-1\right)}{b\left(b-a\right)}\text{, }&b\neq 0\text{ and }a\neq b\text{ and }a\neq 0\\x=-\frac{by-c}{a}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&\left(c=0\text{ and }b=0\text{ and }a\neq 0\right)\text{ or }\left(c=0\text{ and }a=b\text{ and }b\neq 0\right)\text{ or }\left(a=1\text{ and }b=1\right)\text{ or }\left(a=1\text{ and }b=0\right)\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=0\text{, }&c=0\text{ and }a=0\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=c\text{, }&b=1\text{ and }a=0\\x\in \mathrm{C}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&c=0\text{ and }b=0\text{ and }a=0\end{matrix}\right.$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$ax+by=c,a^{2}x+b^{2}y=c$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$ax+by=c$$

გამოაკელით by განტოლების ორივე მხარეს.

$$ax=\left(-b\right)y+c$$

ორივე მხარე გაყავით a-ზე.

$$x=\frac{1}{a}\left(\left(-b\right)y+c\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{a}-ზე -by+c.

$$x=\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{c}{a}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-by+c}{a}-ით x მეორე განტოლებაში, a^{2}x+b^{2}y=c.

$$a^{2}\left(\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{c}{a}\right)+b^{2}y=c$$

გაამრავლეთ a^{2}-ზე \frac{-by+c}{a}.

$$\left(-ab\right)y+ac+b^{2}y=c$$

მიუმატეთ -bay b^{2}y-ს.

$$b\left(b-a\right)y+ac=c$$

გამოაკელით ca განტოლების ორივე მხარეს.

$$b\left(b-a\right)y=c-ac$$

ორივე მხარე გაყავით b\left(b-a\right)-ზე.

$$y=\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}-ით y აქ: x=\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{c}{a}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\left(-\frac{b}{a}\right)\times \frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}+\frac{c}{a}$$

გაამრავლეთ -\frac{b}{a}-ზე \frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}.

$$x=-\frac{c\left(1-a\right)}{a\left(b-a\right)}+\frac{c}{a}$$

მიუმატეთ \frac{c}{a} -\frac{\left(1-a\right)c}{\left(b-a\right)a}-ს.

$$x=\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)},y=\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$ax+by=c,a^{2}x+b^{2}y=c$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b^{2}}{ab^{2}-ba^{2}}&-\frac{b}{ab^{2}-ba^{2}}\\-\frac{a^{2}}{ab^{2}-ba^{2}}&\frac{a}{ab^{2}-ba^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{a\left(b-a\right)}&-\frac{1}{a\left(b-a\right)}\\-\frac{a}{b\left(b-a\right)}&\frac{1}{b\left(b-a\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{a\left(b-a\right)}c+\left(-\frac{1}{a\left(b-a\right)}\right)c\\\left(-\frac{a}{b\left(b-a\right)}\right)c+\frac{1}{b\left(b-a\right)}c\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)}\\\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)},y=\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$ax+by=c,a^{2}x+b^{2}y=c$$

იმისათვის, რომ ax და a^{2}x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს a^{2}-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს a-ზე.

$$a^{2}ax+a^{2}by=a^{2}c,aa^{2}x+ab^{2}y=ac$$

გაამარტივეთ.

$$a^{3}x+ba^{2}y=ca^{2},a^{3}x+ab^{2}y=ac$$

გამოაკელით a^{3}x+ab^{2}y=ac a^{3}x+ba^{2}y=ca^{2}-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$a^{3}x+\left(-a^{3}\right)x+ba^{2}y+\left(-ab^{2}\right)y=ca^{2}-ac$$

მიუმატეთ a^{3}x -a^{3}x-ს. პირობები a^{3}x და -a^{3}x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$ba^{2}y+\left(-ab^{2}\right)y=ca^{2}-ac$$

მიუმატეთ a^{2}by -ab^{2}y-ს.

$$ab\left(a-b\right)y=ca^{2}-ac$$

მიუმატეთ a^{2}c -ac-ს.

$$ab\left(a-b\right)y=ac\left(a-1\right)$$

ორივე მხარე გაყავით ab\left(a-b\right)-ზე.

$$y=\frac{c\left(a-1\right)}{b\left(a-b\right)}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{\left(-1+a\right)c}{b\left(a-b\right)}-ით y აქ: a^{2}x+b^{2}y=c. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$a^{2}x+b^{2}\times \frac{c\left(a-1\right)}{b\left(a-b\right)}=c$$

გაამრავლეთ b^{2}-ზე \frac{\left(-1+a\right)c}{b\left(a-b\right)}.

$$a^{2}x+\frac{bc\left(a-1\right)}{a-b}=c$$

გამოაკელით \frac{b\left(-1+a\right)c}{a-b} განტოლების ორივე მხარეს.

$$a^{2}x=\frac{ac\left(1-b\right)}{a-b}$$

ორივე მხარე გაყავით a^{2}-ზე.

$$x=\frac{c\left(1-b\right)}{a\left(a-b\right)}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{c\left(1-b\right)}{a\left(a-b\right)},y=\frac{c\left(a-1\right)}{b\left(a-b\right)}$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{c\left(1-b\right)}{a\left(b-a\right)}\text{, }y=-\frac{c\left(a-1\right)}{b\left(b-a\right)}\text{, }&b\neq 0\text{ and }a\neq b\text{ and }a\neq 0\\x=-\frac{by-c}{a}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&\left(c=0\text{ and }b=0\text{ and }a\neq 0\right)\text{ or }\left(c=0\text{ and }a=b\text{ and }b\neq 0\right)\text{ or }\left(a=1\text{ and }b=1\right)\text{ or }\left(a=1\text{ and }b=0\right)\\x\in \mathrm{R}\text{, }y=0\text{, }&c=0\text{ and }a=0\text{ and }b\neq 1\text{ and }b\neq 0\\x\in \mathrm{R}\text{, }y=c\text{, }&b=1\text{ and }a=0\\x\in \mathrm{R}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&c=0\text{ and }b=0\text{ and }a=0\end{matrix}\right.$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$ax+by=c,a^{2}x+b^{2}y=c$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$ax+by=c$$

გამოაკელით by განტოლების ორივე მხარეს.

$$ax=\left(-b\right)y+c$$

ორივე მხარე გაყავით a-ზე.

$$x=\frac{1}{a}\left(\left(-b\right)y+c\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{a}-ზე -by+c.

$$x=\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{c}{a}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-by+c}{a}-ით x მეორე განტოლებაში, a^{2}x+b^{2}y=c.

$$a^{2}\left(\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{c}{a}\right)+b^{2}y=c$$

გაამრავლეთ a^{2}-ზე \frac{-by+c}{a}.

$$\left(-ab\right)y+ac+b^{2}y=c$$

მიუმატეთ -bay b^{2}y-ს.

$$b\left(b-a\right)y+ac=c$$

გამოაკელით ca განტოლების ორივე მხარეს.

$$b\left(b-a\right)y=c-ac$$

ორივე მხარე გაყავით b\left(-a+b\right)-ზე.

$$y=\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{c\left(1-a\right)}{b\left(-a+b\right)}-ით y აქ: x=\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{c}{a}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\left(-\frac{b}{a}\right)\times \frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}+\frac{c}{a}$$

გაამრავლეთ -\frac{b}{a}-ზე \frac{c\left(1-a\right)}{b\left(-a+b\right)}.

$$x=-\frac{c\left(1-a\right)}{a\left(b-a\right)}+\frac{c}{a}$$

მიუმატეთ \frac{c}{a} -\frac{\left(1-a\right)c}{\left(-a+b\right)a}-ს.

$$x=\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)},y=\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$ax+by=c,a^{2}x+b^{2}y=c$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b^{2}}{ab^{2}-ba^{2}}&-\frac{b}{ab^{2}-ba^{2}}\\-\frac{a^{2}}{ab^{2}-ba^{2}}&\frac{a}{ab^{2}-ba^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{a\left(b-a\right)}&-\frac{1}{a\left(b-a\right)}\\-\frac{a}{b\left(b-a\right)}&\frac{1}{b\left(b-a\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{a\left(b-a\right)}c+\left(-\frac{1}{a\left(b-a\right)}\right)c\\\left(-\frac{a}{b\left(b-a\right)}\right)c+\frac{1}{b\left(b-a\right)}c\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)}\\\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)},y=\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$ax+by=c,a^{2}x+b^{2}y=c$$

იმისათვის, რომ ax და a^{2}x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს a^{2}-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს a-ზე.

$$a^{2}ax+a^{2}by=a^{2}c,aa^{2}x+ab^{2}y=ac$$

გაამარტივეთ.

$$a^{3}x+ba^{2}y=ca^{2},a^{3}x+ab^{2}y=ac$$

გამოაკელით a^{3}x+ab^{2}y=ac a^{3}x+ba^{2}y=ca^{2}-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$a^{3}x+\left(-a^{3}\right)x+ba^{2}y+\left(-ab^{2}\right)y=ca^{2}-ac$$

მიუმატეთ a^{3}x -a^{3}x-ს. პირობები a^{3}x და -a^{3}x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$ba^{2}y+\left(-ab^{2}\right)y=ca^{2}-ac$$

მიუმატეთ a^{2}by -ab^{2}y-ს.

$$ab\left(a-b\right)y=ca^{2}-ac$$

მიუმატეთ a^{2}c -ac-ს.

$$ab\left(a-b\right)y=ac\left(a-1\right)$$

ორივე მხარე გაყავით ab\left(a-b\right)-ზე.

$$y=\frac{c\left(a-1\right)}{b\left(a-b\right)}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{\left(-1+a\right)c}{b\left(a-b\right)}-ით y აქ: a^{2}x+b^{2}y=c. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$a^{2}x+b^{2}\times \frac{c\left(a-1\right)}{b\left(a-b\right)}=c$$

გაამრავლეთ b^{2}-ზე \frac{\left(-1+a\right)c}{b\left(a-b\right)}.

$$a^{2}x+\frac{bc\left(a-1\right)}{a-b}=c$$

გამოაკელით \frac{b\left(-1+a\right)c}{a-b} განტოლების ორივე მხარეს.

$$a^{2}x=\frac{ac\left(1-b\right)}{a-b}$$

ორივე მხარე გაყავით a^{2}-ზე.

$$x=\frac{c\left(1-b\right)}{a\left(a-b\right)}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{c\left(1-b\right)}{a\left(a-b\right)},y=\frac{c\left(a-1\right)}{b\left(a-b\right)}$$