გადაწყვიტეთ {l}{a+b=3}{5a+9b=1}

$$\left. \begin{array} { l } { a + b = 3 } \\ { 5 a + 9 b = 1 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა a, b-ისთვის

$$a = \frac{13}{2} = 6\frac{1}{2} = 6.5$$

$$b = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3.5$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$a+b=3,5a+9b=1$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი a-ისთვის, a-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$a+b=3$$

გამოაკელით b განტოლების ორივე მხარეს.

$$a=-b+3$$

ჩაანაცვლეთ -b+3-ით a მეორე განტოლებაში, 5a+9b=1.

$$5\left(-b+3\right)+9b=1$$

გაამრავლეთ 5-ზე -b+3.

$$-5b+15+9b=1$$

მიუმატეთ -5b 9b-ს.

$$4b+15=1$$

გამოაკელით 15 განტოლების ორივე მხარეს.

$$4b=-14$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$b=-\frac{7}{2}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{7}{2}-ით b აქ: a=-b+3. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ a.

$$a=-\left(-\frac{7}{2}\right)+3$$

გაამრავლეთ -1-ზე -\frac{7}{2}.

$$a=\frac{7}{2}+3$$

მიუმატეთ 3 \frac{7}{2}-ს.

$$a=\frac{13}{2}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$a=\frac{13}{2},b=-\frac{7}{2}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$a+b=3,5a+9b=1$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\5&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&1\\5&9\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\5&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{9-5}&-\frac{1}{9-5}\\-\frac{5}{9-5}&\frac{1}{9-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{4}&-\frac{1}{4}\\-\frac{5}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{4}\times 3-\frac{1}{4}\\-\frac{5}{4}\times 3+\frac{1}{4}\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{2}\\-\frac{7}{2}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - a და b.

$$a=\frac{13}{2},b=-\frac{7}{2}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$a+b=3,5a+9b=1$$

იმისათვის, რომ a და 5a ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 5-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე.

$$5a+5b=5\times 3,5a+9b=1$$

გაამარტივეთ.

$$5a+5b=15,5a+9b=1$$

გამოაკელით 5a+9b=1 5a+5b=15-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$5a-5a+5b-9b=15-1$$

მიუმატეთ 5a -5a-ს. პირობები 5a და -5a გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$5b-9b=15-1$$

მიუმატეთ 5b -9b-ს.

$$-4b=15-1$$

მიუმატეთ 15 -1-ს.

$$-4b=14$$

ორივე მხარე გაყავით -4-ზე.

$$b=-\frac{7}{2}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{7}{2}-ით b აქ: 5a+9b=1. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ a.

$$5a+9\left(-\frac{7}{2}\right)=1$$

გაამრავლეთ 9-ზე -\frac{7}{2}.

$$5a-\frac{63}{2}=1$$

მიუმატეთ \frac{63}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$5a=\frac{65}{2}$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$a=\frac{13}{2}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$a=\frac{13}{2},b=-\frac{7}{2}$$