გადაწყვიტეთ {l}{X-Y=1}{X+Y=-9}

$$\left. \begin{array} { l } { X - Y = 1 } \\ { X + Y = - 9 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა X, Y-ისთვის

$$X=-4$$

$$Y=-5$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$X-Y=1,X+Y=-9$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი X-ისთვის, X-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$X-Y=1$$

მიუმატეთ Y განტოლების ორივე მხარეს.

$$X=Y+1$$

ჩაანაცვლეთ Y+1-ით X მეორე განტოლებაში, X+Y=-9.

$$Y+1+Y=-9$$

მიუმატეთ Y Y-ს.

$$2Y+1=-9$$

გამოაკელით 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2Y=-10$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$Y=-5$$

ჩაანაცვლეთ -5-ით Y აქ: X=Y+1. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ X.

$$X=-5+1$$

მიუმატეთ 1 -5-ს.

$$X=-4$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$X=-4,Y=-5$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$X-Y=1,X+Y=-9$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-9\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-9\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-9\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-1\right)}&\frac{1}{1-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-9\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-9\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\left(-9\right)\\-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-5\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - X და Y.

$$X=-4,Y=-5$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$X-Y=1,X+Y=-9$$

გამოაკელით X+Y=-9 X-Y=1-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$X-X-Y-Y=1+9$$

მიუმატეთ X -X-ს. პირობები X და -X გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-Y-Y=1+9$$

მიუმატეთ -Y -Y-ს.

$$-2Y=1+9$$

მიუმატეთ 1 9-ს.

$$-2Y=10$$

ორივე მხარე გაყავით -2-ზე.

$$Y=-5$$

ჩაანაცვლეთ -5-ით Y აქ: X+Y=-9. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ X.

$$X-5=-9$$

მიუმატეთ 5 განტოლების ორივე მხარეს.

$$X=-4$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$X=-4,Y=-5$$