გადაწყვიტეთ {l}{Cx+y=69}{2x+y=87}

$$\left. \begin{array} { l } { C x + y = 69 } \\ { 2 x + y = 87 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-\frac{18}{C-2}$$

$$y=-\frac{3\left(46-29C\right)}{C-2}$$

$$C\neq 2$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$Cx+y=69,2x+y=87$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$Cx+y=69$$

გამოაკელით y განტოლების ორივე მხარეს.

$$Cx=-y+69$$

ორივე მხარე გაყავით C-ზე.

$$x=\frac{1}{C}\left(-y+69\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{C}-ზე -y+69.

$$x=\left(-\frac{1}{C}\right)y+\frac{69}{C}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{69-y}{C}-ით x მეორე განტოლებაში, 2x+y=87.

$$2\left(\left(-\frac{1}{C}\right)y+\frac{69}{C}\right)+y=87$$

გაამრავლეთ 2-ზე \frac{69-y}{C}.

$$\left(-\frac{2}{C}\right)y+\frac{138}{C}+y=87$$

მიუმატეთ -\frac{2y}{C} y-ს.

$$\frac{C-2}{C}y+\frac{138}{C}=87$$

გამოაკელით \frac{138}{C} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{C-2}{C}y=87-\frac{138}{C}$$

ორივე მხარე გაყავით \frac{-2+C}{C}-ზე.

$$y=\frac{3\left(29C-46\right)}{C-2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{3\left(-46+29C\right)}{-2+C}-ით y აქ: x=\left(-\frac{1}{C}\right)y+\frac{69}{C}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\left(-\frac{1}{C}\right)\times \frac{3\left(29C-46\right)}{C-2}+\frac{69}{C}$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{C}-ზე \frac{3\left(-46+29C\right)}{-2+C}.

$$x=-\frac{3\left(29C-46\right)}{C\left(C-2\right)}+\frac{69}{C}$$

მიუმატეთ \frac{69}{C} -\frac{3\left(-46+29C\right)}{C\left(-2+C\right)}-ს.

$$x=-\frac{18}{C-2}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{18}{C-2},y=\frac{3\left(29C-46\right)}{C-2}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$Cx+y=69,2x+y=87$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}C&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}C&1\\2&1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}C&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}C&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}C&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}C&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}C&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{C-2}&-\frac{1}{C-2}\\-\frac{2}{C-2}&\frac{C}{C-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{C-2}\times 69+\left(-\frac{1}{C-2}\right)\times 87\\\left(-\frac{2}{C-2}\right)\times 69+\frac{C}{C-2}\times 87\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{18}{C-2}\\\frac{3\left(29C-46\right)}{C-2}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-\frac{18}{C-2},y=\frac{3\left(29C-46\right)}{C-2}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$Cx+y=69,2x+y=87$$

გამოაკელით 2x+y=87 Cx+y=69-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$Cx-2x+y-y=69-87$$

მიუმატეთ y -y-ს. პირობები y და -y გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$Cx-2x=69-87$$

მიუმატეთ Cx -2x-ს.

$$\left(C-2\right)x=69-87$$

მიუმატეთ 69 -87-ს.

$$\left(C-2\right)x=-18$$

ორივე მხარე გაყავით C-2-ზე.

$$x=-\frac{18}{C-2}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{18}{C-2}-ით x აქ: 2x+y=87. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$2\left(-\frac{18}{C-2}\right)+y=87$$

გაამრავლეთ 2-ზე -\frac{18}{C-2}.

$$-\frac{36}{C-2}+y=87$$

მიუმატეთ \frac{36}{C-2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$y=\frac{3\left(29C-46\right)}{C-2}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{18}{C-2},y=\frac{3\left(29C-46\right)}{C-2}$$