გადაწყვიტეთ {l}{Ax+By=C}{Dx+Cy=F}

$$\left. \begin{array} { l } { A x + B y = C } \\ { D x + C y = F } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{BF-C^{2}}{AC-BD}\text{, }y=-\frac{CD-AF}{AC-BD}\text{, }&\left(B\neq 0\text{ or }C\neq 0\right)\text{ and }\left(C\neq 0\text{ or }D\neq 0\right)\text{ and }\left(C=0\text{ or }A\neq \frac{BD}{C}\text{ or }B=0\text{ or }D=0\right)\text{ and }A\neq 0\\x=-\frac{By-C}{A}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&A\neq 0\text{ and }F=\frac{BD^{2}}{A^{2}}\text{ and }C=\frac{BD}{A}\\x=\frac{BF-C^{2}}{BD}\text{, }y=\frac{C}{B}\text{, }&A=0\text{ and }D\neq 0\text{ and }B\neq 0\\x=\frac{F}{D}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&A=0\text{ and }D\neq 0\text{ and }C=0\text{ and }B=0\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=B^{-\frac{1}{2}}\sqrt{F}\text{, }&A=0\text{ and }D=0\text{ and }B\neq 0\text{ and }C=\sqrt{B}\sqrt{F}\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=-B^{-\frac{1}{2}}\sqrt{F}\text{, }&A=0\text{ and }D=0\text{ and }B\neq 0\text{ and }C=-\sqrt{B}\sqrt{F}\\x\in \mathrm{C}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&A=0\text{ and }D=0\text{ and }F=0\text{ and }B=0\text{ and }C=0\end{matrix}\right.$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$Ax+By=C,Dx+Cy=F$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$Ax+By=C$$

გამოაკელით By განტოლების ორივე მხარეს.

$$Ax=\left(-B\right)y+C$$

ორივე მხარე გაყავით A-ზე.

$$x=\frac{1}{A}\left(\left(-B\right)y+C\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{A}-ზე -By+C.

$$x=\left(-\frac{B}{A}\right)y+\frac{C}{A}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-By+C}{A}-ით x მეორე განტოლებაში, Dx+Cy=F.

$$D\left(\left(-\frac{B}{A}\right)y+\frac{C}{A}\right)+Cy=F$$

გაამრავლეთ D-ზე \frac{-By+C}{A}.

$$\left(-\frac{BD}{A}\right)y+\frac{CD}{A}+Cy=F$$

მიუმატეთ -\frac{DBy}{A} Cy-ს.

$$\left(-\frac{BD}{A}+C\right)y+\frac{CD}{A}=F$$

გამოაკელით \frac{DC}{A} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\left(-\frac{BD}{A}+C\right)y=-\frac{CD}{A}+F$$

ორივე მხარე გაყავით C-\frac{DB}{A}-ზე.

$$y=\frac{AF-CD}{AC-BD}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{FA-DC}{CA-DB}-ით y აქ: x=\left(-\frac{B}{A}\right)y+\frac{C}{A}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\left(-\frac{B}{A}\right)\times \frac{AF-CD}{AC-BD}+\frac{C}{A}$$

გაამრავლეთ -\frac{B}{A}-ზე \frac{FA-DC}{CA-DB}.

$$x=-\frac{B\left(AF-CD\right)}{A\left(AC-BD\right)}+\frac{C}{A}$$

მიუმატეთ \frac{C}{A} -\frac{B\left(FA-DC\right)}{A\left(CA-DB\right)}-ს.

$$x=\frac{C^{2}-BF}{AC-BD}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{C^{2}-BF}{AC-BD},y=\frac{AF-CD}{AC-BD}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$Ax+By=C,Dx+Cy=F$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{C}{AC-BD}&-\frac{B}{AC-BD}\\-\frac{D}{AC-BD}&\frac{A}{AC-BD}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{C}{AC-BD}C+\left(-\frac{B}{AC-BD}\right)F\\\left(-\frac{D}{AC-BD}\right)C+\frac{A}{AC-BD}F\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{BF-C^{2}}{BD-AC}\\\frac{CD-AF}{BD-AC}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{BF-C^{2}}{BD-AC},y=\frac{CD-AF}{BD-AC}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$Ax+By=C,Dx+Cy=F$$

იმისათვის, რომ Ax და Dx ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს D-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს A-ზე.

$$DAx+DBy=DC,ADx+ACy=AF$$

გაამარტივეთ.

$$ADx+BDy=CD,ADx+ACy=AF$$

გამოაკელით ADx+ACy=AF ADx+BDy=CD-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$ADx+\left(-AD\right)x+BDy+\left(-AC\right)y=CD-AF$$

მიუმატეთ DAx -DAx-ს. პირობები DAx და -DAx გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$BDy+\left(-AC\right)y=CD-AF$$

მიუმატეთ DBy -ACy-ს.

$$\left(BD-AC\right)y=CD-AF$$

ორივე მხარე გაყავით DB-AC-ზე.

$$y=\frac{CD-AF}{BD-AC}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{DC-AF}{DB-AC}-ით y აქ: Dx+Cy=F. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$Dx+C\times \frac{CD-AF}{BD-AC}=F$$

გაამრავლეთ C-ზე \frac{DC-AF}{DB-AC}.

$$Dx+\frac{C\left(CD-AF\right)}{BD-AC}=F$$

გამოაკელით \frac{C\left(DC-AF\right)}{DB-AC} განტოლების ორივე მხარეს.

$$Dx=\frac{D\left(BF-C^{2}\right)}{BD-AC}$$

ორივე მხარე გაყავით D-ზე.

$$x=\frac{BF-C^{2}}{BD-AC}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{BF-C^{2}}{BD-AC},y=\frac{CD-AF}{BD-AC}$$