გადაწყვიტეთ {l}{A=90800+0.15B}{B=23600+0.2A}

$$\left. \begin{array} { l } { A = 90800 + 0.15 B } \\ { B = 23600 + 0.2 A } \end{array} \right.$$

ამოხსნა A, B-ისთვის

$$A = \frac{9434000}{97} = 97257\frac{71}{97} \approx 97257.731958763$$

$$B = \frac{4176000}{97} = 43051\frac{53}{97} \approx 43051.546391753$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 0.15B ორივე მხარეს.

$$A-0.15B=90800$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 0.2A ორივე მხარეს.

$$B-0.2A=23600$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$A-0.15B=90800,-0.2A+B=23600$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი A-ისთვის, A-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$A-0.15B=90800$$

მიუმატეთ \frac{3B}{20} განტოლების ორივე მხარეს.

$$A=0.15B+90800$$

ჩაანაცვლეთ \frac{3B}{20}+90800-ით A მეორე განტოლებაში, -0.2A+B=23600.

$$-0.2\left(0.15B+90800\right)+B=23600$$

გაამრავლეთ -0.2-ზე \frac{3B}{20}+90800.

$$-0.03B-18160+B=23600$$

მიუმატეთ -\frac{3B}{100} B-ს.

$$0.97B-18160=23600$$

მიუმატეთ 18160 განტოლების ორივე მხარეს.

$$0.97B=41760$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით 0.97-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$B=\frac{4176000}{97}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{4176000}{97}-ით B აქ: A=0.15B+90800. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ A.

$$A=0.15\times \frac{4176000}{97}+90800$$

გაამრავლეთ 0.15-ზე \frac{4176000}{97} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$A=\frac{626400}{97}+90800$$

მიუმატეთ 90800 \frac{626400}{97}-ს.

$$A=\frac{9434000}{97}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$A=\frac{9434000}{97},B=\frac{4176000}{97}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 0.15B ორივე მხარეს.

$$A-0.15B=90800$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 0.2A ორივე მხარეს.

$$B-0.2A=23600$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$A-0.15B=90800,-0.2A+B=23600$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&-0.15\\-0.2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}90800\\23600\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&-0.15\\-0.2&1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-0.15\\-0.2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-0.15\\-0.2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-0.15\\-0.2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90800\\23600\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-0.15\\-0.2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90800\\23600\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-0.15\\-0.2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90800\\23600\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-0.15\left(-0.2\right)\right)}&-\frac{-0.15}{1-\left(-0.15\left(-0.2\right)\right)}\\-\frac{-0.2}{1-\left(-0.15\left(-0.2\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-0.15\left(-0.2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}90800\\23600\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{100}{97}&\frac{15}{97}\\\frac{20}{97}&\frac{100}{97}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}90800\\23600\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{100}{97}\times 90800+\frac{15}{97}\times 23600\\\frac{20}{97}\times 90800+\frac{100}{97}\times 23600\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9434000}{97}\\\frac{4176000}{97}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - A და B.

$$A=\frac{9434000}{97},B=\frac{4176000}{97}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 0.15B ორივე მხარეს.

$$A-0.15B=90800$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 0.2A ორივე მხარეს.

$$B-0.2A=23600$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$A-0.15B=90800,-0.2A+B=23600$$

იმისათვის, რომ A და -\frac{A}{5} ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -0.2-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე.

$$-0.2A-0.2\left(-0.15\right)B=-0.2\times 90800,-0.2A+B=23600$$

გაამარტივეთ.

$$-0.2A+0.03B=-18160,-0.2A+B=23600$$

გამოაკელით -0.2A+B=23600 -0.2A+0.03B=-18160-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-0.2A+0.2A+0.03B-B=-18160-23600$$

მიუმატეთ -\frac{A}{5} \frac{A}{5}-ს. პირობები -\frac{A}{5} და \frac{A}{5} გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$0.03B-B=-18160-23600$$

მიუმატეთ \frac{3B}{100} -B-ს.

$$-0.97B=-18160-23600$$

მიუმატეთ -18160 -23600-ს.

$$-0.97B=-41760$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -0.97-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$B=\frac{4176000}{97}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{4176000}{97}-ით B აქ: -0.2A+B=23600. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ A.

$$-0.2A+\frac{4176000}{97}=23600$$

გამოაკელით \frac{4176000}{97} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-0.2A=-\frac{1886800}{97}$$

ორივე მხარე გაამრავლეთ -5-ზე.

$$A=\frac{9434000}{97}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$A=\frac{9434000}{97},B=\frac{4176000}{97}$$