გადაწყვიტეთ {l}{A+B+1=0}{A-2B=3}

$$\left. \begin{array} { l } { A + B + 1 = 0 } \\ { A - 2 B = 3 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა A, B-ისთვის

$$A=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$B = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1.333333333$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$A+B+1=0,A-2B=3$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი A-ისთვის, A-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$A+B+1=0$$

გამოაკელით 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$A+B=-1$$

გამოაკელით B განტოლების ორივე მხარეს.

$$A=-B-1$$

ჩაანაცვლეთ -B-1-ით A მეორე განტოლებაში, A-2B=3.

$$-B-1-2B=3$$

მიუმატეთ -B -2B-ს.

$$-3B-1=3$$

მიუმატეთ 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-3B=4$$

ორივე მხარე გაყავით -3-ზე.

$$B=-\frac{4}{3}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{4}{3}-ით B აქ: A=-B-1. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ A.

$$A=-\left(-\frac{4}{3}\right)-1$$

გაამრავლეთ -1-ზე -\frac{4}{3}.

$$A=\frac{4}{3}-1$$

მიუმატეთ -1 \frac{4}{3}-ს.

$$A=\frac{1}{3}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$A=\frac{1}{3},B=-\frac{4}{3}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$A+B+1=0,A-2B=3$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-1}&-\frac{1}{-2-1}\\-\frac{1}{-2-1}&\frac{1}{-2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\left(-1\right)+\frac{1}{3}\times 3\\\frac{1}{3}\left(-1\right)-\frac{1}{3}\times 3\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\\-\frac{4}{3}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - A და B.

$$A=\frac{1}{3},B=-\frac{4}{3}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$A+B+1=0,A-2B=3$$

გამოაკელით A-2B=3 A+B+1=0-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$A-A+B+2B+1=-3$$

მიუმატეთ A -A-ს. პირობები A და -A გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$B+2B+1=-3$$

მიუმატეთ B 2B-ს.

$$3B+1=-3$$

გამოაკელით 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3B=-4$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$B=-\frac{4}{3}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{4}{3}-ით B აქ: A-2B=3. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ A.

$$A-2\left(-\frac{4}{3}\right)=3$$

გაამრავლეთ -2-ზე -\frac{4}{3}.

$$A+\frac{8}{3}=3$$

გამოაკელით \frac{8}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$A=\frac{1}{3}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$A=\frac{1}{3},B=-\frac{4}{3}$$