გადაწყვიტეთ {l}{9x-4y=7}{x-4y=-17}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x - 4 y = 7 } \\ { x - 4 y = - 17 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=3$$

$$y=5$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$9x-4y=7,x-4y=-17$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$9x-4y=7$$

მიუმატეთ 4y განტოლების ორივე მხარეს.

$$9x=4y+7$$

ორივე მხარე გაყავით 9-ზე.

$$x=\frac{1}{9}\left(4y+7\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{9}-ზე 4y+7.

$$x=\frac{4}{9}y+\frac{7}{9}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{4y+7}{9}-ით x მეორე განტოლებაში, x-4y=-17.

$$\frac{4}{9}y+\frac{7}{9}-4y=-17$$

მიუმატეთ \frac{4y}{9} -4y-ს.

$$-\frac{32}{9}y+\frac{7}{9}=-17$$

გამოაკელით \frac{7}{9} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{32}{9}y=-\frac{160}{9}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{32}{9}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=5$$

ჩაანაცვლეთ 5-ით y აქ: x=\frac{4}{9}y+\frac{7}{9}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{4}{9}\times 5+\frac{7}{9}$$

გაამრავლეთ \frac{4}{9}-ზე 5.

$$x=\frac{20+7}{9}$$

მიუმატეთ \frac{7}{9} \frac{20}{9}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=3$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=3,y=5$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$9x-4y=7,x-4y=-17$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}9&-4\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-17\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}9&-4\\1&-4\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-4\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-17\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-17\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-17\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{9\left(-4\right)-\left(-4\right)}&-\frac{-4}{9\left(-4\right)-\left(-4\right)}\\-\frac{1}{9\left(-4\right)-\left(-4\right)}&\frac{9}{9\left(-4\right)-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-17\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&-\frac{1}{8}\\\frac{1}{32}&-\frac{9}{32}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-17\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 7-\frac{1}{8}\left(-17\right)\\\frac{1}{32}\times 7-\frac{9}{32}\left(-17\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=3,y=5$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$9x-4y=7,x-4y=-17$$

გამოაკელით x-4y=-17 9x-4y=7-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$9x-x-4y+4y=7+17$$

მიუმატეთ -4y 4y-ს. პირობები -4y და 4y გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$9x-x=7+17$$

მიუმატეთ 9x -x-ს.

$$8x=7+17$$

მიუმატეთ 7 17-ს.

$$8x=24$$

ორივე მხარე გაყავით 8-ზე.

$$x=3$$

ჩაანაცვლეთ 3-ით x აქ: x-4y=-17. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$3-4y=-17$$

გამოაკელით 3 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-4y=-20$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=3,y=5$$