გადაწყვიტეთ {l}{9x-3y-13=0}{2x+y-4=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x - 3 y - 13 = 0 } \\ { 2 x + y - 4 = 0 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

$$y=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$9x-3y-13=0,2x+y-4=0$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$9x-3y-13=0$$

მიუმატეთ 13 განტოლების ორივე მხარეს.

$$9x-3y=13$$

მიუმატეთ 3y განტოლების ორივე მხარეს.

$$9x=3y+13$$

ორივე მხარე გაყავით 9-ზე.

$$x=\frac{1}{9}\left(3y+13\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{9}-ზე 3y+13.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{13}{9}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{y}{3}+\frac{13}{9}-ით x მეორე განტოლებაში, 2x+y-4=0.

$$2\left(\frac{1}{3}y+\frac{13}{9}\right)+y-4=0$$

გაამრავლეთ 2-ზე \frac{y}{3}+\frac{13}{9}.

$$\frac{2}{3}y+\frac{26}{9}+y-4=0$$

მიუმატეთ \frac{2y}{3} y-ს.

$$\frac{5}{3}y+\frac{26}{9}-4=0$$

მიუმატეთ \frac{26}{9} -4-ს.

$$\frac{5}{3}y-\frac{10}{9}=0$$

მიუმატეთ \frac{10}{9} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{5}{3}y=\frac{10}{9}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{5}{3}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=\frac{2}{3}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{2}{3}-ით y აქ: x=\frac{1}{3}y+\frac{13}{9}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{1}{3}\times \frac{2}{3}+\frac{13}{9}$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე \frac{2}{3} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=\frac{2+13}{9}$$

მიუმატეთ \frac{13}{9} \frac{2}{9}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=\frac{5}{3}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{2}{3}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$9x-3y-13=0,2x+y-4=0$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{-3}{9-\left(-3\times 2\right)}\\-\frac{2}{9-\left(-3\times 2\right)}&\frac{9}{9-\left(-3\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}&\frac{1}{5}\\-\frac{2}{15}&\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}\times 13+\frac{1}{5}\times 4\\-\frac{2}{15}\times 13+\frac{3}{5}\times 4\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}\\\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{2}{3}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$9x-3y-13=0,2x+y-4=0$$

იმისათვის, რომ 9x და 2x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 9-ზე.

$$2\times 9x+2\left(-3\right)y+2\left(-13\right)=0,9\times 2x+9y+9\left(-4\right)=0$$

გაამარტივეთ.

$$18x-6y-26=0,18x+9y-36=0$$

გამოაკელით 18x+9y-36=0 18x-6y-26=0-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$18x-18x-6y-9y-26+36=0$$

მიუმატეთ 18x -18x-ს. პირობები 18x და -18x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-6y-9y-26+36=0$$

მიუმატეთ -6y -9y-ს.

$$-15y-26+36=0$$

მიუმატეთ -26 36-ს.

$$-15y+10=0$$

გამოაკელით 10 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-15y=-10$$

ორივე მხარე გაყავით -15-ზე.

$$y=\frac{2}{3}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{2}{3}-ით y აქ: 2x+y-4=0. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$2x+\frac{2}{3}-4=0$$

მიუმატეთ \frac{2}{3} -4-ს.

$$2x-\frac{10}{3}=0$$

მიუმატეთ \frac{10}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=\frac{10}{3}$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=\frac{5}{3}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{2}{3}$$