გადაწყვიტეთ {l}{9x-3y=27}{9x-10y=27}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x - 3 y = 27 } \\ { 9 x - 10 y = 27 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=3$$

$$y=0$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$9x-3y=27,9x-10y=27$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$9x-3y=27$$

მიუმატეთ 3y განტოლების ორივე მხარეს.

$$9x=3y+27$$

ორივე მხარე გაყავით 9-ზე.

$$x=\frac{1}{9}\left(3y+27\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{9}-ზე 27+3y.

$$x=\frac{1}{3}y+3$$

ჩაანაცვლეთ \frac{y}{3}+3-ით x მეორე განტოლებაში, 9x-10y=27.

$$9\left(\frac{1}{3}y+3\right)-10y=27$$

გაამრავლეთ 9-ზე \frac{y}{3}+3.

$$3y+27-10y=27$$

მიუმატეთ 3y -10y-ს.

$$-7y+27=27$$

გამოაკელით 27 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-7y=0$$

ორივე მხარე გაყავით -7-ზე.

$$y=0$$

ჩაანაცვლეთ 0-ით y აქ: x=\frac{1}{3}y+3. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=3$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=3,y=0$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$9x-3y=27,9x-10y=27$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}9&-3\\9&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}27\\27\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}9&-3\\9&-10\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\9&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-3\\9&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\9&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\27\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\9&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\27\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\9&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\27\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{9\left(-10\right)-\left(-3\times 9\right)}&-\frac{-3}{9\left(-10\right)-\left(-3\times 9\right)}\\-\frac{9}{9\left(-10\right)-\left(-3\times 9\right)}&\frac{9}{9\left(-10\right)-\left(-3\times 9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\27\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{63}&-\frac{1}{21}\\\frac{1}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\27\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{63}\times 27-\frac{1}{21}\times 27\\\frac{1}{7}\times 27-\frac{1}{7}\times 27\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\0\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=3,y=0$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$9x-3y=27,9x-10y=27$$

გამოაკელით 9x-10y=27 9x-3y=27-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$9x-9x-3y+10y=27-27$$

მიუმატეთ 9x -9x-ს. პირობები 9x და -9x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-3y+10y=27-27$$

მიუმატეთ -3y 10y-ს.

$$7y=27-27$$

მიუმატეთ 27 -27-ს.

$$7y=0$$

ორივე მხარე გაყავით 7-ზე.

$$y=0$$

ჩაანაცვლეთ 0-ით y აქ: 9x-10y=27. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$9x=27$$

ორივე მხარე გაყავით 9-ზე.

$$x=3$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=3,y=0$$