გადაწყვიტეთ {l}{9x+my+3=0}{mx+4y+2=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x + m y + 3 = 0 } \\ { m x + 4 y + 2 = 0 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{2}{m+6}\text{, }y=-\frac{3}{m+6}\text{, }&m\neq -6\\x=\frac{-2y-1}{3}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&m=6\end{matrix}\right.$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$9x+my+3=0,mx+4y+2=0$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$9x+my+3=0$$

გამოაკელით 3 განტოლების ორივე მხარეს.

$$9x+my=-3$$

გამოაკელით my განტოლების ორივე მხარეს.

$$9x=\left(-m\right)y-3$$

ორივე მხარე გაყავით 9-ზე.

$$x=\frac{1}{9}\left(\left(-m\right)y-3\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{9}-ზე -my-3.

$$x=\left(-\frac{m}{9}\right)y-\frac{1}{3}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{my}{9}-\frac{1}{3}-ით x მეორე განტოლებაში, mx+4y+2=0.

$$m\left(\left(-\frac{m}{9}\right)y-\frac{1}{3}\right)+4y+2=0$$

გაამრავლეთ m-ზე -\frac{my}{9}-\frac{1}{3}.

$$\left(-\frac{m^{2}}{9}\right)y-\frac{m}{3}+4y+2=0$$

მიუმატეთ -\frac{m^{2}y}{9} 4y-ს.

$$\left(-\frac{m^{2}}{9}+4\right)y-\frac{m}{3}+2=0$$

გამოაკელით -\frac{m}{3}+2 განტოლების ორივე მხარეს.

$$\left(-\frac{m^{2}}{9}+4\right)y=\frac{m}{3}-2$$

ორივე მხარე გაყავით -\frac{m^{2}}{9}+4-ზე.

$$y=-\frac{3}{m+6}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{3}{6+m}-ით y აქ: x=\left(-\frac{m}{9}\right)y-\frac{1}{3}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\left(-\frac{m}{9}\right)\left(-\frac{3}{m+6}\right)-\frac{1}{3}$$

გაამრავლეთ -\frac{m}{9}-ზე -\frac{3}{6+m}.

$$x=\frac{m}{3\left(m+6\right)}-\frac{1}{3}$$

მიუმატეთ -\frac{1}{3} \frac{m}{3\left(6+m\right)}-ს.

$$x=-\frac{2}{m+6}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{2}{m+6},y=-\frac{3}{m+6}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$9x+my+3=0,mx+4y+2=0$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9\times 4-mm}&-\frac{m}{9\times 4-mm}\\-\frac{m}{9\times 4-mm}&\frac{9}{9\times 4-mm}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{36-m^{2}}&-\frac{m}{36-m^{2}}\\-\frac{m}{36-m^{2}}&\frac{9}{36-m^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{36-m^{2}}\left(-3\right)+\left(-\frac{m}{36-m^{2}}\right)\left(-2\right)\\\left(-\frac{m}{36-m^{2}}\right)\left(-3\right)+\frac{9}{36-m^{2}}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{m+6}\\-\frac{3}{m+6}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-\frac{2}{m+6},y=-\frac{3}{m+6}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$9x+my+3=0,mx+4y+2=0$$

იმისათვის, რომ 9x და mx ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს m-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 9-ზე.

$$m\times 9x+mmy+m\times 3=0,9mx+9\times 4y+9\times 2=0$$

გაამარტივეთ.

$$9mx+m^{2}y+3m=0,9mx+36y+18=0$$

გამოაკელით 9mx+36y+18=0 9mx+m^{2}y+3m=0-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$9mx+\left(-9m\right)x+m^{2}y-36y+3m-18=0$$

მიუმატეთ 9mx -9mx-ს. პირობები 9mx და -9mx გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$m^{2}y-36y+3m-18=0$$

მიუმატეთ m^{2}y -36y-ს.

$$\left(m^{2}-36\right)y+3m-18=0$$

გამოაკელით -18+3m განტოლების ორივე მხარეს.

$$\left(m^{2}-36\right)y=18-3m$$

ორივე მხარე გაყავით m^{2}-36-ზე.

$$y=-\frac{3}{m+6}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{3}{6+m}-ით y აქ: mx+4y+2=0. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$mx+4\left(-\frac{3}{m+6}\right)+2=0$$

გაამრავლეთ 4-ზე -\frac{3}{6+m}.

$$mx-\frac{12}{m+6}+2=0$$

მიუმატეთ -\frac{12}{6+m} 2-ს.

$$mx+\frac{2m}{m+6}=0$$

გამოაკელით \frac{2m}{6+m} განტოლების ორივე მხარეს.

$$mx=-\frac{2m}{m+6}$$

ორივე მხარე გაყავით m-ზე.

$$x=-\frac{2}{m+6}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{2}{m+6},y=-\frac{3}{m+6}$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{2}{m+6}\text{, }y=-\frac{3}{m+6}\text{, }&|m|\neq 6\\x=\frac{-2y-1}{3}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&m=6\end{matrix}\right.$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$9x+my+3=0,mx+4y+2=0$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$9x+my+3=0$$

გამოაკელით 3 განტოლების ორივე მხარეს.

$$9x+my=-3$$

გამოაკელით my განტოლების ორივე მხარეს.

$$9x=\left(-m\right)y-3$$

ორივე მხარე გაყავით 9-ზე.

$$x=\frac{1}{9}\left(\left(-m\right)y-3\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{9}-ზე -my-3.

$$x=\left(-\frac{m}{9}\right)y-\frac{1}{3}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{my}{9}-\frac{1}{3}-ით x მეორე განტოლებაში, mx+4y+2=0.

$$m\left(\left(-\frac{m}{9}\right)y-\frac{1}{3}\right)+4y+2=0$$

გაამრავლეთ m-ზე -\frac{my}{9}-\frac{1}{3}.

$$\left(-\frac{m^{2}}{9}\right)y-\frac{m}{3}+4y+2=0$$

მიუმატეთ -\frac{m^{2}y}{9} 4y-ს.

$$\left(-\frac{m^{2}}{9}+4\right)y-\frac{m}{3}+2=0$$

გამოაკელით -\frac{m}{3}+2 განტოლების ორივე მხარეს.

$$\left(-\frac{m^{2}}{9}+4\right)y=\frac{m}{3}-2$$

ორივე მხარე გაყავით -\frac{m^{2}}{9}+4-ზე.

$$y=-\frac{3}{m+6}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{3}{6+m}-ით y აქ: x=\left(-\frac{m}{9}\right)y-\frac{1}{3}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\left(-\frac{m}{9}\right)\left(-\frac{3}{m+6}\right)-\frac{1}{3}$$

გაამრავლეთ -\frac{m}{9}-ზე -\frac{3}{6+m}.

$$x=\frac{m}{3\left(m+6\right)}-\frac{1}{3}$$

მიუმატეთ -\frac{1}{3} \frac{m}{3\left(6+m\right)}-ს.

$$x=-\frac{2}{m+6}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{2}{m+6},y=-\frac{3}{m+6}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$9x+my+3=0,mx+4y+2=0$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9\times 4-mm}&-\frac{m}{9\times 4-mm}\\-\frac{m}{9\times 4-mm}&\frac{9}{9\times 4-mm}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{36-m^{2}}&-\frac{m}{36-m^{2}}\\-\frac{m}{36-m^{2}}&\frac{9}{36-m^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{36-m^{2}}\left(-3\right)+\left(-\frac{m}{36-m^{2}}\right)\left(-2\right)\\\left(-\frac{m}{36-m^{2}}\right)\left(-3\right)+\frac{9}{36-m^{2}}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{m+6}\\-\frac{3}{m+6}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-\frac{2}{m+6},y=-\frac{3}{m+6}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$9x+my+3=0,mx+4y+2=0$$

იმისათვის, რომ 9x და mx ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს m-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 9-ზე.

$$m\times 9x+mmy+m\times 3=0,9mx+9\times 4y+9\times 2=0$$

გაამარტივეთ.

$$9mx+m^{2}y+3m=0,9mx+36y+18=0$$

გამოაკელით 9mx+36y+18=0 9mx+m^{2}y+3m=0-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$9mx+\left(-9m\right)x+m^{2}y-36y+3m-18=0$$

მიუმატეთ 9mx -9mx-ს. პირობები 9mx და -9mx გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$m^{2}y-36y+3m-18=0$$

მიუმატეთ m^{2}y -36y-ს.

$$\left(m^{2}-36\right)y+3m-18=0$$

გამოაკელით -18+3m განტოლების ორივე მხარეს.

$$\left(m^{2}-36\right)y=18-3m$$

ორივე მხარე გაყავით m^{2}-36-ზე.

$$y=-\frac{3}{m+6}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{3}{6+m}-ით y აქ: mx+4y+2=0. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$mx+4\left(-\frac{3}{m+6}\right)+2=0$$

გაამრავლეთ 4-ზე -\frac{3}{6+m}.

$$mx-\frac{12}{m+6}+2=0$$

მიუმატეთ -\frac{12}{6+m} 2-ს.

$$mx+\frac{2m}{m+6}=0$$

გამოაკელით \frac{2m}{6+m} განტოლების ორივე მხარეს.

$$mx=-\frac{2m}{m+6}$$

ორივე მხარე გაყავით m-ზე.

$$x=-\frac{2}{m+6}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{2}{m+6},y=-\frac{3}{m+6}$$