გადაწყვიტეთ {l}{9x+7y=6}{8x+3y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x + 7 y = 6 } \\ { 8 x + 3 y = 9 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{45}{29} = 1\frac{16}{29} \approx 1.551724138$$

$$y = -\frac{33}{29} = -1\frac{4}{29} \approx -1.137931034$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$9x+7y=6,8x+3y=9$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$9x+7y=6$$

გამოაკელით 7y განტოლების ორივე მხარეს.

$$9x=-7y+6$$

ორივე მხარე გაყავით 9-ზე.

$$x=\frac{1}{9}\left(-7y+6\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{9}-ზე -7y+6.

$$x=-\frac{7}{9}y+\frac{2}{3}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{7y}{9}+\frac{2}{3}-ით x მეორე განტოლებაში, 8x+3y=9.

$$8\left(-\frac{7}{9}y+\frac{2}{3}\right)+3y=9$$

გაამრავლეთ 8-ზე -\frac{7y}{9}+\frac{2}{3}.

$$-\frac{56}{9}y+\frac{16}{3}+3y=9$$

მიუმატეთ -\frac{56y}{9} 3y-ს.

$$-\frac{29}{9}y+\frac{16}{3}=9$$

გამოაკელით \frac{16}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{29}{9}y=\frac{11}{3}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{29}{9}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-\frac{33}{29}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{33}{29}-ით y აქ: x=-\frac{7}{9}y+\frac{2}{3}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{7}{9}\left(-\frac{33}{29}\right)+\frac{2}{3}$$

გაამრავლეთ -\frac{7}{9}-ზე -\frac{33}{29} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=\frac{77}{87}+\frac{2}{3}$$

მიუმატეთ \frac{2}{3} \frac{77}{87}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=\frac{45}{29}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{45}{29},y=-\frac{33}{29}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$9x+7y=6,8x+3y=9$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{9\times 3-7\times 8}&-\frac{7}{9\times 3-7\times 8}\\-\frac{8}{9\times 3-7\times 8}&\frac{9}{9\times 3-7\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{29}&\frac{7}{29}\\\frac{8}{29}&-\frac{9}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{29}\times 6+\frac{7}{29}\times 9\\\frac{8}{29}\times 6-\frac{9}{29}\times 9\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{45}{29}\\-\frac{33}{29}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{45}{29},y=-\frac{33}{29}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$9x+7y=6,8x+3y=9$$

იმისათვის, რომ 9x და 8x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 8-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 9-ზე.

$$8\times 9x+8\times 7y=8\times 6,9\times 8x+9\times 3y=9\times 9$$

გაამარტივეთ.

$$72x+56y=48,72x+27y=81$$

გამოაკელით 72x+27y=81 72x+56y=48-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$72x-72x+56y-27y=48-81$$

მიუმატეთ 72x -72x-ს. პირობები 72x და -72x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$56y-27y=48-81$$

მიუმატეთ 56y -27y-ს.

$$29y=48-81$$

მიუმატეთ 48 -81-ს.

$$29y=-33$$

ორივე მხარე გაყავით 29-ზე.

$$y=-\frac{33}{29}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{33}{29}-ით y აქ: 8x+3y=9. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$8x+3\left(-\frac{33}{29}\right)=9$$

გაამრავლეთ 3-ზე -\frac{33}{29}.

$$8x-\frac{99}{29}=9$$

მიუმატეთ \frac{99}{29} განტოლების ორივე მხარეს.

$$8x=\frac{360}{29}$$

ორივე მხარე გაყავით 8-ზე.

$$x=\frac{45}{29}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{45}{29},y=-\frac{33}{29}$$