გადაწყვიტეთ {l}{9v+2w=7}{3v-8w=-2}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 v + 2 w = 7 } \\ { 3 v - 8 w = - 2 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა v, w-ისთვის

$$v=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

$$w=\frac{1}{2}=0.5$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$9v+2w=7,3v-8w=-2$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი v-ისთვის, v-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$9v+2w=7$$

გამოაკელით 2w განტოლების ორივე მხარეს.

$$9v=-2w+7$$

ორივე მხარე გაყავით 9-ზე.

$$v=\frac{1}{9}\left(-2w+7\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{9}-ზე -2w+7.

$$v=-\frac{2}{9}w+\frac{7}{9}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-2w+7}{9}-ით v მეორე განტოლებაში, 3v-8w=-2.

$$3\left(-\frac{2}{9}w+\frac{7}{9}\right)-8w=-2$$

გაამრავლეთ 3-ზე \frac{-2w+7}{9}.

$$-\frac{2}{3}w+\frac{7}{3}-8w=-2$$

მიუმატეთ -\frac{2w}{3} -8w-ს.

$$-\frac{26}{3}w+\frac{7}{3}=-2$$

გამოაკელით \frac{7}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{26}{3}w=-\frac{13}{3}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{26}{3}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$w=\frac{1}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{1}{2}-ით w აქ: v=-\frac{2}{9}w+\frac{7}{9}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ v.

$$v=-\frac{2}{9}\times \frac{1}{2}+\frac{7}{9}$$

გაამრავლეთ -\frac{2}{9}-ზე \frac{1}{2} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$v=\frac{-1+7}{9}$$

მიუმატეთ \frac{7}{9} -\frac{1}{9}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$v=\frac{2}{3}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$v=\frac{2}{3},w=\frac{1}{2}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$9v+2w=7,3v-8w=-2$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{9\left(-8\right)-2\times 3}&-\frac{2}{9\left(-8\right)-2\times 3}\\-\frac{3}{9\left(-8\right)-2\times 3}&\frac{9}{9\left(-8\right)-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}&\frac{1}{39}\\\frac{1}{26}&-\frac{3}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}\times 7+\frac{1}{39}\left(-2\right)\\\frac{1}{26}\times 7-\frac{3}{26}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - v და w.

$$v=\frac{2}{3},w=\frac{1}{2}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$9v+2w=7,3v-8w=-2$$

იმისათვის, რომ 9v და 3v ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 9-ზე.

$$3\times 9v+3\times 2w=3\times 7,9\times 3v+9\left(-8\right)w=9\left(-2\right)$$

გაამარტივეთ.

$$27v+6w=21,27v-72w=-18$$

გამოაკელით 27v-72w=-18 27v+6w=21-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$27v-27v+6w+72w=21+18$$

მიუმატეთ 27v -27v-ს. პირობები 27v და -27v გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$6w+72w=21+18$$

მიუმატეთ 6w 72w-ს.

$$78w=21+18$$

მიუმატეთ 21 18-ს.

$$78w=39$$

ორივე მხარე გაყავით 78-ზე.

$$w=\frac{1}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{1}{2}-ით w აქ: 3v-8w=-2. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ v.

$$3v-8\times \frac{1}{2}=-2$$

გაამრავლეთ -8-ზე \frac{1}{2}.

$$3v-4=-2$$

მიუმატეთ 4 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3v=2$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$v=\frac{2}{3}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$v=\frac{2}{3},w=\frac{1}{2}$$