გადაწყვიტეთ {l}{9c+4100m=3264}{4100c+1994800m=1537280}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 c + 4100 m = 3264 } \\ { 4100 c + 1994800 m = 1537280 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა c, m-ისთვის

$$c = \frac{260224}{1429} = 182\frac{146}{1429} \approx 182.102169349$$

$$m=\frac{2832}{7145}\approx 0.396361092$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$9c+4100m=3264,4100c+1994800m=1537280$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი c-ისთვის, c-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$9c+4100m=3264$$

გამოაკელით 4100m განტოლების ორივე მხარეს.

$$9c=-4100m+3264$$

ორივე მხარე გაყავით 9-ზე.

$$c=\frac{1}{9}\left(-4100m+3264\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{9}-ზე -4100m+3264.

$$c=-\frac{4100}{9}m+\frac{1088}{3}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{4100m}{9}+\frac{1088}{3}-ით c მეორე განტოლებაში, 4100c+1994800m=1537280.

$$4100\left(-\frac{4100}{9}m+\frac{1088}{3}\right)+1994800m=1537280$$

გაამრავლეთ 4100-ზე -\frac{4100m}{9}+\frac{1088}{3}.

$$-\frac{16810000}{9}m+\frac{4460800}{3}+1994800m=1537280$$

მიუმატეთ -\frac{16810000m}{9} 1994800m-ს.

$$\frac{1143200}{9}m+\frac{4460800}{3}=1537280$$

გამოაკელით \frac{4460800}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{1143200}{9}m=\frac{151040}{3}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{1143200}{9}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$m=\frac{2832}{7145}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{2832}{7145}-ით m აქ: c=-\frac{4100}{9}m+\frac{1088}{3}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ c.

$$c=-\frac{4100}{9}\times \frac{2832}{7145}+\frac{1088}{3}$$

გაამრავლეთ -\frac{4100}{9}-ზე \frac{2832}{7145} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$c=-\frac{774080}{4287}+\frac{1088}{3}$$

მიუმატეთ \frac{1088}{3} -\frac{774080}{4287}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$c=\frac{260224}{1429}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$c=\frac{260224}{1429},m=\frac{2832}{7145}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$9c+4100m=3264,4100c+1994800m=1537280$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}9&4100\\4100&1994800\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3264\\1537280\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}9&4100\\4100&1994800\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&4100\\4100&1994800\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&4100\\4100&1994800\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&4100\\4100&1994800\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3264\\1537280\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&4100\\4100&1994800\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3264\\1537280\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}c\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&4100\\4100&1994800\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3264\\1537280\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}c\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1994800}{9\times 1994800-4100\times 4100}&-\frac{4100}{9\times 1994800-4100\times 4100}\\-\frac{4100}{9\times 1994800-4100\times 4100}&\frac{9}{9\times 1994800-4100\times 4100}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3264\\1537280\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}c\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4987}{2858}&-\frac{41}{11432}\\-\frac{41}{11432}&\frac{9}{1143200}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3264\\1537280\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}c\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4987}{2858}\times 3264-\frac{41}{11432}\times 1537280\\-\frac{41}{11432}\times 3264+\frac{9}{1143200}\times 1537280\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}c\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{260224}{1429}\\\frac{2832}{7145}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - c და m.

$$c=\frac{260224}{1429},m=\frac{2832}{7145}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$9c+4100m=3264,4100c+1994800m=1537280$$

იმისათვის, რომ 9c და 4100c ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 4100-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 9-ზე.

$$4100\times 9c+4100\times 4100m=4100\times 3264,9\times 4100c+9\times 1994800m=9\times 1537280$$

გაამარტივეთ.

$$36900c+16810000m=13382400,36900c+17953200m=13835520$$

გამოაკელით 36900c+17953200m=13835520 36900c+16810000m=13382400-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$36900c-36900c+16810000m-17953200m=13382400-13835520$$

მიუმატეთ 36900c -36900c-ს. პირობები 36900c და -36900c გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$16810000m-17953200m=13382400-13835520$$

მიუმატეთ 16810000m -17953200m-ს.

$$-1143200m=13382400-13835520$$

მიუმატეთ 13382400 -13835520-ს.

$$-1143200m=-453120$$

ორივე მხარე გაყავით -1143200-ზე.

$$m=\frac{2832}{7145}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{2832}{7145}-ით m აქ: 4100c+1994800m=1537280. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ c.

$$4100c+1994800\times \frac{2832}{7145}=1537280$$

გაამრავლეთ 1994800-ზე \frac{2832}{7145}.

$$4100c+\frac{1129854720}{1429}=1537280$$

გამოაკელით \frac{1129854720}{1429} განტოლების ორივე მხარეს.

$$4100c=\frac{1066918400}{1429}$$

ორივე მხარე გაყავით 4100-ზე.

$$c=\frac{260224}{1429}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$c=\frac{260224}{1429},m=\frac{2832}{7145}$$