გადაწყვიტეთ {l}{80x+160y=4}{x+3y=0.1}

$$\left. \begin{array} { l } { 80 x + 160 y = 4 } \\ { x + 3 y = 0.1 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-0.05$$

$$y=0.05$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$80x+160y=4,x+3y=0.1$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$80x+160y=4$$

გამოაკელით 160y განტოლების ორივე მხარეს.

$$80x=-160y+4$$

ორივე მხარე გაყავით 80-ზე.

$$x=\frac{1}{80}\left(-160y+4\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{80}-ზე -160y+4.

$$x=-2y+\frac{1}{20}$$

ჩაანაცვლეთ -2y+\frac{1}{20}-ით x მეორე განტოლებაში, x+3y=0.1.

$$-2y+\frac{1}{20}+3y=0.1$$

მიუმატეთ -2y 3y-ს.

$$y+\frac{1}{20}=0.1$$

გამოაკელით \frac{1}{20} განტოლების ორივე მხარეს.

$$y=\frac{1}{20}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{1}{20}-ით y აქ: x=-2y+\frac{1}{20}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-2\times \frac{1}{20}+\frac{1}{20}$$

გაამრავლეთ -2-ზე \frac{1}{20}.

$$x=-\frac{1}{10}+\frac{1}{20}$$

მიუმატეთ \frac{1}{20} -\frac{1}{10}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=-\frac{1}{20}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{1}{20},y=\frac{1}{20}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$80x+160y=4,x+3y=0.1$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\0.1\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\0.1\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\0.1\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\0.1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{80\times 3-160}&-\frac{160}{80\times 3-160}\\-\frac{1}{80\times 3-160}&\frac{80}{80\times 3-160}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\0.1\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{80}&-2\\-\frac{1}{80}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\0.1\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{80}\times 4-2\times 0.1\\-\frac{1}{80}\times 4+0.1\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{20}\\\frac{1}{20}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-\frac{1}{20},y=\frac{1}{20}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$80x+160y=4,x+3y=0.1$$

იმისათვის, რომ 80x და x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 80-ზე.

$$80x+160y=4,80x+80\times 3y=80\times 0.1$$

გაამარტივეთ.

$$80x+160y=4,80x+240y=8$$

გამოაკელით 80x+240y=8 80x+160y=4-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$80x-80x+160y-240y=4-8$$

მიუმატეთ 80x -80x-ს. პირობები 80x და -80x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$160y-240y=4-8$$

მიუმატეთ 160y -240y-ს.

$$-80y=4-8$$

მიუმატეთ 4 -8-ს.

$$-80y=-4$$

ორივე მხარე გაყავით -80-ზე.

$$y=\frac{1}{20}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{1}{20}-ით y აქ: x+3y=0.1. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x+3\times \frac{1}{20}=0.1$$

გაამრავლეთ 3-ზე \frac{1}{20}.

$$x+\frac{3}{20}=0.1$$

გამოაკელით \frac{3}{20} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=-\frac{1}{20}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{1}{20},y=\frac{1}{20}$$