გადაწყვიტეთ {l}{8y+x=7}{7y+8x=16}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 y + x = 7 } \\ { 7 y + 8 x = 16 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა y, x-ისთვის

$$x = \frac{79}{57} = 1\frac{22}{57} \approx 1.385964912$$

$$y=\frac{40}{57}\approx 0.701754386$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$8y+x=7,7y+8x=16$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი y-ისთვის, y-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$8y+x=7$$

გამოაკელით x განტოლების ორივე მხარეს.

$$8y=-x+7$$

ორივე მხარე გაყავით 8-ზე.

$$y=\frac{1}{8}\left(-x+7\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{8}-ზე -x+7.

$$y=-\frac{1}{8}x+\frac{7}{8}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-x+7}{8}-ით y მეორე განტოლებაში, 7y+8x=16.

$$7\left(-\frac{1}{8}x+\frac{7}{8}\right)+8x=16$$

გაამრავლეთ 7-ზე \frac{-x+7}{8}.

$$-\frac{7}{8}x+\frac{49}{8}+8x=16$$

მიუმატეთ -\frac{7x}{8} 8x-ს.

$$\frac{57}{8}x+\frac{49}{8}=16$$

გამოაკელით \frac{49}{8} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{57}{8}x=\frac{79}{8}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{57}{8}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x=\frac{79}{57}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{79}{57}-ით x აქ: y=-\frac{1}{8}x+\frac{7}{8}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$y=-\frac{1}{8}\times \frac{79}{57}+\frac{7}{8}$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{8}-ზე \frac{79}{57} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$y=-\frac{79}{456}+\frac{7}{8}$$

მიუმატეთ \frac{7}{8} -\frac{79}{456}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$y=\frac{40}{57}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=\frac{40}{57},x=\frac{79}{57}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$8y+x=7,7y+8x=16$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\16\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\16\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\16\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\16\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{8\times 8-7}&-\frac{1}{8\times 8-7}\\-\frac{7}{8\times 8-7}&\frac{8}{8\times 8-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\16\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{57}&-\frac{1}{57}\\-\frac{7}{57}&\frac{8}{57}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\16\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{57}\times 7-\frac{1}{57}\times 16\\-\frac{7}{57}\times 7+\frac{8}{57}\times 16\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{40}{57}\\\frac{79}{57}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - y და x.

$$y=\frac{40}{57},x=\frac{79}{57}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$8y+x=7,7y+8x=16$$

იმისათვის, რომ 8y და 7y ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 7-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 8-ზე.

$$7\times 8y+7x=7\times 7,8\times 7y+8\times 8x=8\times 16$$

გაამარტივეთ.

$$56y+7x=49,56y+64x=128$$

გამოაკელით 56y+64x=128 56y+7x=49-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$56y-56y+7x-64x=49-128$$

მიუმატეთ 56y -56y-ს. პირობები 56y და -56y გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$7x-64x=49-128$$

მიუმატეთ 7x -64x-ს.

$$-57x=49-128$$

მიუმატეთ 49 -128-ს.

$$-57x=-79$$

ორივე მხარე გაყავით -57-ზე.

$$x=\frac{79}{57}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{79}{57}-ით x აქ: 7y+8x=16. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$7y+8\times \frac{79}{57}=16$$

გაამრავლეთ 8-ზე \frac{79}{57}.

$$7y+\frac{632}{57}=16$$

გამოაკელით \frac{632}{57} განტოლების ორივე მხარეს.

$$7y=\frac{280}{57}$$

ორივე მხარე გაყავით 7-ზე.

$$y=\frac{40}{57}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=\frac{40}{57},x=\frac{79}{57}$$