გადაწყვიტეთ {l}{8x-9y=15}{-5x+3y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x - 9 y = 15 } \\ { - 5 x + 3 y = 9 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-6$$

$$y=-7$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$8x-9y=15,-5x+3y=9$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$8x-9y=15$$

მიუმატეთ 9y განტოლების ორივე მხარეს.

$$8x=9y+15$$

ორივე მხარე გაყავით 8-ზე.

$$x=\frac{1}{8}\left(9y+15\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{8}-ზე 9y+15.

$$x=\frac{9}{8}y+\frac{15}{8}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{9y+15}{8}-ით x მეორე განტოლებაში, -5x+3y=9.

$$-5\left(\frac{9}{8}y+\frac{15}{8}\right)+3y=9$$

გაამრავლეთ -5-ზე \frac{9y+15}{8}.

$$-\frac{45}{8}y-\frac{75}{8}+3y=9$$

მიუმატეთ -\frac{45y}{8} 3y-ს.

$$-\frac{21}{8}y-\frac{75}{8}=9$$

მიუმატეთ \frac{75}{8} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{21}{8}y=\frac{147}{8}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{21}{8}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-7$$

ჩაანაცვლეთ -7-ით y აქ: x=\frac{9}{8}y+\frac{15}{8}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{9}{8}\left(-7\right)+\frac{15}{8}$$

გაამრავლეთ \frac{9}{8}-ზე -7.

$$x=\frac{-63+15}{8}$$

მიუმატეთ \frac{15}{8} -\frac{63}{8}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=-6$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-6,y=-7$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$8x-9y=15,-5x+3y=9$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}8&-9\\-5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}8&-9\\-5&3\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&-9\\-5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&-9\\-5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-9\\-5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-9\\-5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-9\\-5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8\times 3-\left(-9\left(-5\right)\right)}&-\frac{-9}{8\times 3-\left(-9\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{8\times 3-\left(-9\left(-5\right)\right)}&\frac{8}{8\times 3-\left(-9\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&-\frac{3}{7}\\-\frac{5}{21}&-\frac{8}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\times 15-\frac{3}{7}\times 9\\-\frac{5}{21}\times 15-\frac{8}{21}\times 9\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-7\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-6,y=-7$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$8x-9y=15,-5x+3y=9$$

იმისათვის, რომ 8x და -5x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -5-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 8-ზე.

$$-5\times 8x-5\left(-9\right)y=-5\times 15,8\left(-5\right)x+8\times 3y=8\times 9$$

გაამარტივეთ.

$$-40x+45y=-75,-40x+24y=72$$

გამოაკელით -40x+24y=72 -40x+45y=-75-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-40x+40x+45y-24y=-75-72$$

მიუმატეთ -40x 40x-ს. პირობები -40x და 40x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$45y-24y=-75-72$$

მიუმატეთ 45y -24y-ს.

$$21y=-75-72$$

მიუმატეთ -75 -72-ს.

$$21y=-147$$

ორივე მხარე გაყავით 21-ზე.

$$y=-7$$

ჩაანაცვლეთ -7-ით y აქ: -5x+3y=9. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$-5x+3\left(-7\right)=9$$

გაამრავლეთ 3-ზე -7.

$$-5x-21=9$$

მიუმატეთ 21 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-5x=30$$

ორივე მხარე გაყავით -5-ზე.

$$x=-6$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-6,y=-7$$