გადაწყვიტეთ {l}{8x-5y=10}{6x-4y=11}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x - 5 y = 10 } \\ { 6 x - 4 y = 11 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = -\frac{15}{2} = -7\frac{1}{2} = -7.5$$

$$y=-14$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$8x-5y=10,6x-4y=11$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$8x-5y=10$$

მიუმატეთ 5y განტოლების ორივე მხარეს.

$$8x=5y+10$$

ორივე მხარე გაყავით 8-ზე.

$$x=\frac{1}{8}\left(5y+10\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{8}-ზე 10+5y.

$$x=\frac{5}{8}y+\frac{5}{4}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{5}{4}+\frac{5y}{8}-ით x მეორე განტოლებაში, 6x-4y=11.

$$6\left(\frac{5}{8}y+\frac{5}{4}\right)-4y=11$$

გაამრავლეთ 6-ზე \frac{5}{4}+\frac{5y}{8}.

$$\frac{15}{4}y+\frac{15}{2}-4y=11$$

მიუმატეთ \frac{15y}{4} -4y-ს.

$$-\frac{1}{4}y+\frac{15}{2}=11$$

გამოაკელით \frac{15}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{1}{4}y=\frac{7}{2}$$

ორივე მხარე გაამრავლეთ -4-ზე.

$$y=-14$$

ჩაანაცვლეთ -14-ით y აქ: x=\frac{5}{8}y+\frac{5}{4}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{5}{8}\left(-14\right)+\frac{5}{4}$$

გაამრავლეთ \frac{5}{8}-ზე -14.

$$x=\frac{-35+5}{4}$$

მიუმატეთ \frac{5}{4} -\frac{35}{4}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=-\frac{15}{2}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{15}{2},y=-14$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$8x-5y=10,6x-4y=11$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{8\left(-4\right)-\left(-5\times 6\right)}&-\frac{-5}{8\left(-4\right)-\left(-5\times 6\right)}\\-\frac{6}{8\left(-4\right)-\left(-5\times 6\right)}&\frac{8}{8\left(-4\right)-\left(-5\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-\frac{5}{2}\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 10-\frac{5}{2}\times 11\\3\times 10-4\times 11\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{2}\\-14\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-\frac{15}{2},y=-14$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$8x-5y=10,6x-4y=11$$

იმისათვის, რომ 8x და 6x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 6-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 8-ზე.

$$6\times 8x+6\left(-5\right)y=6\times 10,8\times 6x+8\left(-4\right)y=8\times 11$$

გაამარტივეთ.

$$48x-30y=60,48x-32y=88$$

გამოაკელით 48x-32y=88 48x-30y=60-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$48x-48x-30y+32y=60-88$$

მიუმატეთ 48x -48x-ს. პირობები 48x და -48x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-30y+32y=60-88$$

მიუმატეთ -30y 32y-ს.

$$2y=60-88$$

მიუმატეთ 60 -88-ს.

$$2y=-28$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$y=-14$$

ჩაანაცვლეთ -14-ით y აქ: 6x-4y=11. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$6x-4\left(-14\right)=11$$

გაამრავლეთ -4-ზე -14.

$$6x+56=11$$

გამოაკელით 56 განტოლების ორივე მხარეს.

$$6x=-45$$

ორივე მხარე გაყავით 6-ზე.

$$x=-\frac{15}{2}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{15}{2},y=-14$$