გადაწყვიტეთ {l}{8x-3y=4}{-4x+4y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x - 3 y = 4 } \\ { - 4 x + 4 y = 8 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=2$$

$$y=4$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$8x-3y=4,-4x+4y=8$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$8x-3y=4$$

მიუმატეთ 3y განტოლების ორივე მხარეს.

$$8x=3y+4$$

ორივე მხარე გაყავით 8-ზე.

$$x=\frac{1}{8}\left(3y+4\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{8}-ზე 3y+4.

$$x=\frac{3}{8}y+\frac{1}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{3y}{8}+\frac{1}{2}-ით x მეორე განტოლებაში, -4x+4y=8.

$$-4\left(\frac{3}{8}y+\frac{1}{2}\right)+4y=8$$

გაამრავლეთ -4-ზე \frac{3y}{8}+\frac{1}{2}.

$$-\frac{3}{2}y-2+4y=8$$

მიუმატეთ -\frac{3y}{2} 4y-ს.

$$\frac{5}{2}y-2=8$$

მიუმატეთ 2 განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{5}{2}y=10$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{5}{2}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=4$$

ჩაანაცვლეთ 4-ით y აქ: x=\frac{3}{8}y+\frac{1}{2}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{3}{8}\times 4+\frac{1}{2}$$

გაამრავლეთ \frac{3}{8}-ზე 4.

$$x=\frac{3+1}{2}$$

მიუმატეთ \frac{1}{2} \frac{3}{2}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=2$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=2,y=4$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$8x-3y=4,-4x+4y=8$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}8&-3\\-4&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}8&-3\\-4&4\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&-3\\-4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&-3\\-4&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-3\\-4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-3\\-4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-3\\-4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{8\times 4-\left(-3\left(-4\right)\right)}&-\frac{-3}{8\times 4-\left(-3\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{8\times 4-\left(-3\left(-4\right)\right)}&\frac{8}{8\times 4-\left(-3\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{20}\\\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 4+\frac{3}{20}\times 8\\\frac{1}{5}\times 4+\frac{2}{5}\times 8\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=2,y=4$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$8x-3y=4,-4x+4y=8$$

იმისათვის, რომ 8x და -4x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -4-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 8-ზე.

$$-4\times 8x-4\left(-3\right)y=-4\times 4,8\left(-4\right)x+8\times 4y=8\times 8$$

გაამარტივეთ.

$$-32x+12y=-16,-32x+32y=64$$

გამოაკელით -32x+32y=64 -32x+12y=-16-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-32x+32x+12y-32y=-16-64$$

მიუმატეთ -32x 32x-ს. პირობები -32x და 32x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$12y-32y=-16-64$$

მიუმატეთ 12y -32y-ს.

$$-20y=-16-64$$

მიუმატეთ -16 -64-ს.

$$-20y=-80$$

ორივე მხარე გაყავით -20-ზე.

$$y=4$$

ჩაანაცვლეთ 4-ით y აქ: -4x+4y=8. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$-4x+4\times 4=8$$

გაამრავლეთ 4-ზე 4.

$$-4x+16=8$$

გამოაკელით 16 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-4x=-8$$

ორივე მხარე გაყავით -4-ზე.

$$x=2$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=2,y=4$$