გადაწყვიტეთ {l}{8x+8y=35}{6x-6y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x + 8 y = 35 } \\ { 6 x - 6 y = 7 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{133}{48} = 2\frac{37}{48} \approx 2.770833333$$

$$y = \frac{77}{48} = 1\frac{29}{48} \approx 1.604166667$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$8x+8y=35,6x-6y=7$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$8x+8y=35$$

გამოაკელით 8y განტოლების ორივე მხარეს.

$$8x=-8y+35$$

ორივე მხარე გაყავით 8-ზე.

$$x=\frac{1}{8}\left(-8y+35\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{8}-ზე -8y+35.

$$x=-y+\frac{35}{8}$$

ჩაანაცვლეთ -y+\frac{35}{8}-ით x მეორე განტოლებაში, 6x-6y=7.

$$6\left(-y+\frac{35}{8}\right)-6y=7$$

გაამრავლეთ 6-ზე -y+\frac{35}{8}.

$$-6y+\frac{105}{4}-6y=7$$

მიუმატეთ -6y -6y-ს.

$$-12y+\frac{105}{4}=7$$

გამოაკელით \frac{105}{4} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-12y=-\frac{77}{4}$$

ორივე მხარე გაყავით -12-ზე.

$$y=\frac{77}{48}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{77}{48}-ით y აქ: x=-y+\frac{35}{8}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{77}{48}+\frac{35}{8}$$

მიუმატეთ \frac{35}{8} -\frac{77}{48}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=\frac{133}{48}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{133}{48},y=\frac{77}{48}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$8x+8y=35,6x-6y=7$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}8&8\\6&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}35\\7\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}8&8\\6&-6\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&8\\6&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&8\\6&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&8\\6&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\7\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&8\\6&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\7\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&8\\6&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{8\left(-6\right)-8\times 6}&-\frac{8}{8\left(-6\right)-8\times 6}\\-\frac{6}{8\left(-6\right)-8\times 6}&\frac{8}{8\left(-6\right)-8\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\7\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{16}&\frac{1}{12}\\\frac{1}{16}&-\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\7\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{16}\times 35+\frac{1}{12}\times 7\\\frac{1}{16}\times 35-\frac{1}{12}\times 7\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{133}{48}\\\frac{77}{48}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{133}{48},y=\frac{77}{48}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$8x+8y=35,6x-6y=7$$

იმისათვის, რომ 8x და 6x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 6-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 8-ზე.

$$6\times 8x+6\times 8y=6\times 35,8\times 6x+8\left(-6\right)y=8\times 7$$

გაამარტივეთ.

$$48x+48y=210,48x-48y=56$$

გამოაკელით 48x-48y=56 48x+48y=210-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$48x-48x+48y+48y=210-56$$

მიუმატეთ 48x -48x-ს. პირობები 48x და -48x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$48y+48y=210-56$$

მიუმატეთ 48y 48y-ს.

$$96y=210-56$$

მიუმატეთ 210 -56-ს.

$$96y=154$$

ორივე მხარე გაყავით 96-ზე.

$$y=\frac{77}{48}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{77}{48}-ით y აქ: 6x-6y=7. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$6x-6\times \frac{77}{48}=7$$

გაამრავლეთ -6-ზე \frac{77}{48}.

$$6x-\frac{77}{8}=7$$

მიუმატეთ \frac{77}{8} განტოლების ორივე მხარეს.

$$6x=\frac{133}{8}$$

ორივე მხარე გაყავით 6-ზე.

$$x=\frac{133}{48}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{133}{48},y=\frac{77}{48}$$