გადაწყვიტეთ {l}{8a-b=9}{4a+9b=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 a - b = 9 } \\ { 4 a + 9 b = 7 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა a, b-ისთვის

$$a = \frac{22}{19} = 1\frac{3}{19} \approx 1.157894737$$

$$b=\frac{5}{19}\approx 0.263157895$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$8a-b=9,4a+9b=7$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი a-ისთვის, a-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$8a-b=9$$

მიუმატეთ b განტოლების ორივე მხარეს.

$$8a=b+9$$

ორივე მხარე გაყავით 8-ზე.

$$a=\frac{1}{8}\left(b+9\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{8}-ზე b+9.

$$a=\frac{1}{8}b+\frac{9}{8}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{9+b}{8}-ით a მეორე განტოლებაში, 4a+9b=7.

$$4\left(\frac{1}{8}b+\frac{9}{8}\right)+9b=7$$

გაამრავლეთ 4-ზე \frac{9+b}{8}.

$$\frac{1}{2}b+\frac{9}{2}+9b=7$$

მიუმატეთ \frac{b}{2} 9b-ს.

$$\frac{19}{2}b+\frac{9}{2}=7$$

გამოაკელით \frac{9}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{19}{2}b=\frac{5}{2}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{19}{2}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$b=\frac{5}{19}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{5}{19}-ით b აქ: a=\frac{1}{8}b+\frac{9}{8}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ a.

$$a=\frac{1}{8}\times \frac{5}{19}+\frac{9}{8}$$

გაამრავლეთ \frac{1}{8}-ზე \frac{5}{19} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$a=\frac{5}{152}+\frac{9}{8}$$

მიუმატეთ \frac{9}{8} \frac{5}{152}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$a=\frac{22}{19}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$a=\frac{22}{19},b=\frac{5}{19}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$8a-b=9,4a+9b=7$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{8\times 9-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{8\times 9-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{8\times 9-\left(-4\right)}&\frac{8}{8\times 9-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{76}&\frac{1}{76}\\-\frac{1}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{76}\times 9+\frac{1}{76}\times 7\\-\frac{1}{19}\times 9+\frac{2}{19}\times 7\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{19}\\\frac{5}{19}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - a და b.

$$a=\frac{22}{19},b=\frac{5}{19}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$8a-b=9,4a+9b=7$$

იმისათვის, რომ 8a და 4a ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 4-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 8-ზე.

$$4\times 8a+4\left(-1\right)b=4\times 9,8\times 4a+8\times 9b=8\times 7$$

გაამარტივეთ.

$$32a-4b=36,32a+72b=56$$

გამოაკელით 32a+72b=56 32a-4b=36-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$32a-32a-4b-72b=36-56$$

მიუმატეთ 32a -32a-ს. პირობები 32a და -32a გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-4b-72b=36-56$$

მიუმატეთ -4b -72b-ს.

$$-76b=36-56$$

მიუმატეთ 36 -56-ს.

$$-76b=-20$$

ორივე მხარე გაყავით -76-ზე.

$$b=\frac{5}{19}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{5}{19}-ით b აქ: 4a+9b=7. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ a.

$$4a+9\times \frac{5}{19}=7$$

გაამრავლეთ 9-ზე \frac{5}{19}.

$$4a+\frac{45}{19}=7$$

გამოაკელით \frac{45}{19} განტოლების ორივე მხარეს.

$$4a=\frac{88}{19}$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$a=\frac{22}{19}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$a=\frac{22}{19},b=\frac{5}{19}$$