გადაწყვიტეთ {l}{8+4x=2y}{-4x=14-3y}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 + 4 x = 2 y } \\ { - 4 x = 14 - 3 y } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=1$$

$$y=6$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 2y ორივე მხარეს.

$$8+4x-2y=0$$

გამოაკელით 8 ორივე მხარეს. ნულს გამოკლებული ნებისმიერი რიცხვი უდრის ამავე უარყოფით რიცხვს.

$$4x-2y=-8$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. დაამატეთ 3y ორივე მხარეს.

$$-4x+3y=14$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$4x-2y=-8,-4x+3y=14$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$4x-2y=-8$$

მიუმატეთ 2y განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x=2y-8$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$x=\frac{1}{4}\left(2y-8\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{4}-ზე -8+2y.

$$x=\frac{1}{2}y-2$$

ჩაანაცვლეთ \frac{y}{2}-2-ით x მეორე განტოლებაში, -4x+3y=14.

$$-4\left(\frac{1}{2}y-2\right)+3y=14$$

გაამრავლეთ -4-ზე \frac{y}{2}-2.

$$-2y+8+3y=14$$

მიუმატეთ -2y 3y-ს.

$$y+8=14$$

გამოაკელით 8 განტოლების ორივე მხარეს.

$$y=6$$

ჩაანაცვლეთ 6-ით y აქ: x=\frac{1}{2}y-2. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{1}{2}\times 6-2$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე 6.

$$x=3-2$$

მიუმატეთ -2 3-ს.

$$x=1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=1,y=6$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 2y ორივე მხარეს.

$$8+4x-2y=0$$

გამოაკელით 8 ორივე მხარეს. ნულს გამოკლებული ნებისმიერი რიცხვი უდრის ამავე უარყოფით რიცხვს.

$$4x-2y=-8$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. დაამატეთ 3y ორივე მხარეს.

$$-4x+3y=14$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$4x-2y=-8,-4x+3y=14$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}&-\frac{-2}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}&\frac{4}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{2}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\left(-8\right)+\frac{1}{2}\times 14\\-8+14\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=1,y=6$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 2y ორივე მხარეს.

$$8+4x-2y=0$$

გამოაკელით 8 ორივე მხარეს. ნულს გამოკლებული ნებისმიერი რიცხვი უდრის ამავე უარყოფით რიცხვს.

$$4x-2y=-8$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. დაამატეთ 3y ორივე მხარეს.

$$-4x+3y=14$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$4x-2y=-8,-4x+3y=14$$

იმისათვის, რომ 4x და -4x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -4-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 4-ზე.

$$-4\times 4x-4\left(-2\right)y=-4\left(-8\right),4\left(-4\right)x+4\times 3y=4\times 14$$

გაამარტივეთ.

$$-16x+8y=32,-16x+12y=56$$

გამოაკელით -16x+12y=56 -16x+8y=32-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-16x+16x+8y-12y=32-56$$

მიუმატეთ -16x 16x-ს. პირობები -16x და 16x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$8y-12y=32-56$$

მიუმატეთ 8y -12y-ს.

$$-4y=32-56$$

მიუმატეთ 32 -56-ს.

$$-4y=-24$$

ორივე მხარე გაყავით -4-ზე.

$$y=6$$

ჩაანაცვლეთ 6-ით y აქ: -4x+3y=14. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$-4x+3\times 6=14$$

გაამრავლეთ 3-ზე 6.

$$-4x+18=14$$

გამოაკელით 18 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-4x=-4$$

ორივე მხარე გაყავით -4-ზე.

$$x=1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=1,y=6$$