გადაწყვიტეთ {l}{73x-7y=66}{18x+98y=25}

$$\left. \begin{array} { l } { 73 x - 7 y = 66 } \\ { 18 x + 98 y = 25 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=\frac{73}{80}=0.9125$$

$$y=\frac{7}{80}=0.0875$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$73x-7y=66,18x+98y=25$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$73x-7y=66$$

მიუმატეთ 7y განტოლების ორივე მხარეს.

$$73x=7y+66$$

ორივე მხარე გაყავით 73-ზე.

$$x=\frac{1}{73}\left(7y+66\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{73}-ზე 7y+66.

$$x=\frac{7}{73}y+\frac{66}{73}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{7y+66}{73}-ით x მეორე განტოლებაში, 18x+98y=25.

$$18\left(\frac{7}{73}y+\frac{66}{73}\right)+98y=25$$

გაამრავლეთ 18-ზე \frac{7y+66}{73}.

$$\frac{126}{73}y+\frac{1188}{73}+98y=25$$

მიუმატეთ \frac{126y}{73} 98y-ს.

$$\frac{7280}{73}y+\frac{1188}{73}=25$$

გამოაკელით \frac{1188}{73} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{7280}{73}y=\frac{637}{73}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{7280}{73}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=\frac{7}{80}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{7}{80}-ით y აქ: x=\frac{7}{73}y+\frac{66}{73}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{7}{73}\times \frac{7}{80}+\frac{66}{73}$$

გაამრავლეთ \frac{7}{73}-ზე \frac{7}{80} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=\frac{49}{5840}+\frac{66}{73}$$

მიუმატეთ \frac{66}{73} \frac{49}{5840}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=\frac{73}{80}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{73}{80},y=\frac{7}{80}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$73x-7y=66,18x+98y=25$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}73&-7\\18&98\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}66\\25\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}73&-7\\18&98\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}73&-7\\18&98\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}73&-7\\18&98\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}73&-7\\18&98\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}66\\25\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}73&-7\\18&98\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}66\\25\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}73&-7\\18&98\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}66\\25\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{98}{73\times 98-\left(-7\times 18\right)}&-\frac{-7}{73\times 98-\left(-7\times 18\right)}\\-\frac{18}{73\times 98-\left(-7\times 18\right)}&\frac{73}{73\times 98-\left(-7\times 18\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}66\\25\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{520}&\frac{1}{1040}\\-\frac{9}{3640}&\frac{73}{7280}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}66\\25\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{520}\times 66+\frac{1}{1040}\times 25\\-\frac{9}{3640}\times 66+\frac{73}{7280}\times 25\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{73}{80}\\\frac{7}{80}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{73}{80},y=\frac{7}{80}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$73x-7y=66,18x+98y=25$$

იმისათვის, რომ 73x და 18x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 18-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 73-ზე.

$$18\times 73x+18\left(-7\right)y=18\times 66,73\times 18x+73\times 98y=73\times 25$$

გაამარტივეთ.

$$1314x-126y=1188,1314x+7154y=1825$$

გამოაკელით 1314x+7154y=1825 1314x-126y=1188-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$1314x-1314x-126y-7154y=1188-1825$$

მიუმატეთ 1314x -1314x-ს. პირობები 1314x და -1314x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-126y-7154y=1188-1825$$

მიუმატეთ -126y -7154y-ს.

$$-7280y=1188-1825$$

მიუმატეთ 1188 -1825-ს.

$$-7280y=-637$$

ორივე მხარე გაყავით -7280-ზე.

$$y=\frac{7}{80}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{7}{80}-ით y აქ: 18x+98y=25. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$18x+98\times \frac{7}{80}=25$$

გაამრავლეთ 98-ზე \frac{7}{80}.

$$18x+\frac{343}{40}=25$$

გამოაკელით \frac{343}{40} განტოლების ორივე მხარეს.

$$18x=\frac{657}{40}$$

ორივე მხარე გაყავით 18-ზე.

$$x=\frac{73}{80}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{73}{80},y=\frac{7}{80}$$