გადაწყვიტეთ {l}{7x=y-39}{11x=y+9}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x = y - 39 } \\ { 11 x = y + 9 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=12$$

$$y=123$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით y ორივე მხარეს.

$$7x-y=-39$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით y ორივე მხარეს.

$$11x-y=9$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$7x-y=-39,11x-y=9$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$7x-y=-39$$

მიუმატეთ y განტოლების ორივე მხარეს.

$$7x=y-39$$

ორივე მხარე გაყავით 7-ზე.

$$x=\frac{1}{7}\left(y-39\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{7}-ზე y-39.

$$x=\frac{1}{7}y-\frac{39}{7}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-39+y}{7}-ით x მეორე განტოლებაში, 11x-y=9.

$$11\left(\frac{1}{7}y-\frac{39}{7}\right)-y=9$$

გაამრავლეთ 11-ზე \frac{-39+y}{7}.

$$\frac{11}{7}y-\frac{429}{7}-y=9$$

მიუმატეთ \frac{11y}{7} -y-ს.

$$\frac{4}{7}y-\frac{429}{7}=9$$

მიუმატეთ \frac{429}{7} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{4}{7}y=\frac{492}{7}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{4}{7}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=123$$

ჩაანაცვლეთ 123-ით y აქ: x=\frac{1}{7}y-\frac{39}{7}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{1}{7}\times 123-\frac{39}{7}$$

გაამრავლეთ \frac{1}{7}-ზე 123.

$$x=\frac{123-39}{7}$$

მიუმატეთ -\frac{39}{7} \frac{123}{7}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=12$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=12,y=123$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით y ორივე მხარეს.

$$7x-y=-39$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით y ორივე მხარეს.

$$11x-y=9$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$7x-y=-39,11x-y=9$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-39\\9\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-39\\9\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-39\\9\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-39\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7\left(-1\right)-\left(-11\right)}&-\frac{-1}{7\left(-1\right)-\left(-11\right)}\\-\frac{11}{7\left(-1\right)-\left(-11\right)}&\frac{7}{7\left(-1\right)-\left(-11\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-39\\9\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{11}{4}&\frac{7}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-39\\9\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\left(-39\right)+\frac{1}{4}\times 9\\-\frac{11}{4}\left(-39\right)+\frac{7}{4}\times 9\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\123\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=12,y=123$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით y ორივე მხარეს.

$$7x-y=-39$$

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით y ორივე მხარეს.

$$11x-y=9$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$7x-y=-39,11x-y=9$$

გამოაკელით 11x-y=9 7x-y=-39-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$7x-11x-y+y=-39-9$$

მიუმატეთ -y y-ს. პირობები -y და y გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$7x-11x=-39-9$$

მიუმატეთ 7x -11x-ს.

$$-4x=-39-9$$

მიუმატეთ -39 -9-ს.

$$-4x=-48$$

ორივე მხარე გაყავით -4-ზე.

$$x=12$$

ჩაანაცვლეთ 12-ით x აქ: 11x-y=9. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$11\times 12-y=9$$

გაამრავლეთ 11-ზე 12.

$$132-y=9$$

გამოაკელით 132 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-y=-123$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$y=123$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=12,y=123$$