გადაწყვიტეთ {l}{7x+y=-9}{-3x-y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + y = - 9 } \\ { - 3 x - y = 5 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-1$$

$$y=-2$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$7x+y=-9,-3x-y=5$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$7x+y=-9$$

გამოაკელით y განტოლების ორივე მხარეს.

$$7x=-y-9$$

ორივე მხარე გაყავით 7-ზე.

$$x=\frac{1}{7}\left(-y-9\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{7}-ზე -y-9.

$$x=-\frac{1}{7}y-\frac{9}{7}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-y-9}{7}-ით x მეორე განტოლებაში, -3x-y=5.

$$-3\left(-\frac{1}{7}y-\frac{9}{7}\right)-y=5$$

გაამრავლეთ -3-ზე \frac{-y-9}{7}.

$$\frac{3}{7}y+\frac{27}{7}-y=5$$

მიუმატეთ \frac{3y}{7} -y-ს.

$$-\frac{4}{7}y+\frac{27}{7}=5$$

გამოაკელით \frac{27}{7} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{4}{7}y=\frac{8}{7}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{4}{7}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-2$$

ჩაანაცვლეთ -2-ით y აქ: x=-\frac{1}{7}y-\frac{9}{7}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{1}{7}\left(-2\right)-\frac{9}{7}$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{7}-ზე -2.

$$x=\frac{2-9}{7}$$

მიუმატეთ -\frac{9}{7} \frac{2}{7}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=-1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-1,y=-2$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$7x+y=-9,-3x-y=5$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}7&1\\-3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}7&1\\-3&-1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&1\\-3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7\left(-1\right)-\left(-3\right)}&-\frac{1}{7\left(-1\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{7\left(-1\right)-\left(-3\right)}&\frac{7}{7\left(-1\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{3}{4}&-\frac{7}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\left(-9\right)+\frac{1}{4}\times 5\\-\frac{3}{4}\left(-9\right)-\frac{7}{4}\times 5\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-1,y=-2$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$7x+y=-9,-3x-y=5$$

იმისათვის, რომ 7x და -3x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -3-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 7-ზე.

$$-3\times 7x-3y=-3\left(-9\right),7\left(-3\right)x+7\left(-1\right)y=7\times 5$$

გაამარტივეთ.

$$-21x-3y=27,-21x-7y=35$$

გამოაკელით -21x-7y=35 -21x-3y=27-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-21x+21x-3y+7y=27-35$$

მიუმატეთ -21x 21x-ს. პირობები -21x და 21x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-3y+7y=27-35$$

მიუმატეთ -3y 7y-ს.

$$4y=27-35$$

მიუმატეთ 27 -35-ს.

$$4y=-8$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$y=-2$$

ჩაანაცვლეთ -2-ით y აქ: -3x-y=5. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$-3x-\left(-2\right)=5$$

გამოაკელით 2 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-3x=3$$

ორივე მხარე გაყავით -3-ზე.

$$x=-1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-1,y=-2$$