გადაწყვიტეთ {l}{7x+6y=18}{x=4-y/2}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 6 y = 18 } \\ { x = 4 - \frac { y } { 2 } } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=6$$

$$y=-4$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. დაამატეთ \frac{y}{2} ორივე მხარეს.

$$x+\frac{y}{2}=4$$

განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 2-ზე.

$$2x+y=8$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$7x+6y=18,2x+y=8$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$7x+6y=18$$

გამოაკელით 6y განტოლების ორივე მხარეს.

$$7x=-6y+18$$

ორივე მხარე გაყავით 7-ზე.

$$x=\frac{1}{7}\left(-6y+18\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{7}-ზე -6y+18.

$$x=-\frac{6}{7}y+\frac{18}{7}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-6y+18}{7}-ით x მეორე განტოლებაში, 2x+y=8.

$$2\left(-\frac{6}{7}y+\frac{18}{7}\right)+y=8$$

გაამრავლეთ 2-ზე \frac{-6y+18}{7}.

$$-\frac{12}{7}y+\frac{36}{7}+y=8$$

მიუმატეთ -\frac{12y}{7} y-ს.

$$-\frac{5}{7}y+\frac{36}{7}=8$$

გამოაკელით \frac{36}{7} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{5}{7}y=\frac{20}{7}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{5}{7}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-4$$

ჩაანაცვლეთ -4-ით y აქ: x=-\frac{6}{7}y+\frac{18}{7}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{6}{7}\left(-4\right)+\frac{18}{7}$$

გაამრავლეთ -\frac{6}{7}-ზე -4.

$$x=\frac{24+18}{7}$$

მიუმატეთ \frac{18}{7} \frac{24}{7}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=6$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=6,y=-4$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. დაამატეთ \frac{y}{2} ორივე მხარეს.

$$x+\frac{y}{2}=4$$

განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 2-ზე.

$$2x+y=8$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$7x+6y=18,2x+y=8$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}7&6\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\8\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}7&6\\2&1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&6\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\8\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\8\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7-6\times 2}&-\frac{6}{7-6\times 2}\\-\frac{2}{7-6\times 2}&\frac{7}{7-6\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\8\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{6}{5}\\\frac{2}{5}&-\frac{7}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\8\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\times 18+\frac{6}{5}\times 8\\\frac{2}{5}\times 18-\frac{7}{5}\times 8\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-4\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=6,y=-4$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. დაამატეთ \frac{y}{2} ორივე მხარეს.

$$x+\frac{y}{2}=4$$

განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 2-ზე.

$$2x+y=8$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$7x+6y=18,2x+y=8$$

იმისათვის, რომ 7x და 2x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 7-ზე.

$$2\times 7x+2\times 6y=2\times 18,7\times 2x+7y=7\times 8$$

გაამარტივეთ.

$$14x+12y=36,14x+7y=56$$

გამოაკელით 14x+7y=56 14x+12y=36-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$14x-14x+12y-7y=36-56$$

მიუმატეთ 14x -14x-ს. პირობები 14x და -14x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$12y-7y=36-56$$

მიუმატეთ 12y -7y-ს.

$$5y=36-56$$

მიუმატეთ 36 -56-ს.

$$5y=-20$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$y=-4$$

ჩაანაცვლეთ -4-ით y აქ: 2x+y=8. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$2x-4=8$$

მიუმატეთ 4 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=12$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=6$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=6,y=-4$$