გადაწყვიტეთ {l}{7x+5y=12}{8x-2y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 5 y = 12 } \\ { 8 x - 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{59}{54} = 1\frac{5}{54} \approx 1.092592593$$

$$y=\frac{47}{54}\approx 0.87037037$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$7x+5y=12,8x-2y=7$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$7x+5y=12$$

გამოაკელით 5y განტოლების ორივე მხარეს.

$$7x=-5y+12$$

ორივე მხარე გაყავით 7-ზე.

$$x=\frac{1}{7}\left(-5y+12\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{7}-ზე -5y+12.

$$x=-\frac{5}{7}y+\frac{12}{7}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-5y+12}{7}-ით x მეორე განტოლებაში, 8x-2y=7.

$$8\left(-\frac{5}{7}y+\frac{12}{7}\right)-2y=7$$

გაამრავლეთ 8-ზე \frac{-5y+12}{7}.

$$-\frac{40}{7}y+\frac{96}{7}-2y=7$$

მიუმატეთ -\frac{40y}{7} -2y-ს.

$$-\frac{54}{7}y+\frac{96}{7}=7$$

გამოაკელით \frac{96}{7} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{54}{7}y=-\frac{47}{7}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{54}{7}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=\frac{47}{54}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{47}{54}-ით y აქ: x=-\frac{5}{7}y+\frac{12}{7}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{5}{7}\times \frac{47}{54}+\frac{12}{7}$$

გაამრავლეთ -\frac{5}{7}-ზე \frac{47}{54} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=-\frac{235}{378}+\frac{12}{7}$$

მიუმატეთ \frac{12}{7} -\frac{235}{378}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=\frac{59}{54}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{59}{54},y=\frac{47}{54}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$7x+5y=12,8x-2y=7$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7\left(-2\right)-5\times 8}&-\frac{5}{7\left(-2\right)-5\times 8}\\-\frac{8}{7\left(-2\right)-5\times 8}&\frac{7}{7\left(-2\right)-5\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{27}&\frac{5}{54}\\\frac{4}{27}&-\frac{7}{54}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{27}\times 12+\frac{5}{54}\times 7\\\frac{4}{27}\times 12-\frac{7}{54}\times 7\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{59}{54}\\\frac{47}{54}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{59}{54},y=\frac{47}{54}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$7x+5y=12,8x-2y=7$$

იმისათვის, რომ 7x და 8x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 8-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 7-ზე.

$$8\times 7x+8\times 5y=8\times 12,7\times 8x+7\left(-2\right)y=7\times 7$$

გაამარტივეთ.

$$56x+40y=96,56x-14y=49$$

გამოაკელით 56x-14y=49 56x+40y=96-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$56x-56x+40y+14y=96-49$$

მიუმატეთ 56x -56x-ს. პირობები 56x და -56x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$40y+14y=96-49$$

მიუმატეთ 40y 14y-ს.

$$54y=96-49$$

მიუმატეთ 96 -49-ს.

$$54y=47$$

ორივე მხარე გაყავით 54-ზე.

$$y=\frac{47}{54}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{47}{54}-ით y აქ: 8x-2y=7. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$8x-2\times \frac{47}{54}=7$$

გაამრავლეთ -2-ზე \frac{47}{54}.

$$8x-\frac{47}{27}=7$$

მიუმატეთ \frac{47}{27} განტოლების ორივე მხარეს.

$$8x=\frac{236}{27}$$

ორივე მხარე გაყავით 8-ზე.

$$x=\frac{59}{54}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{59}{54},y=\frac{47}{54}$$