გადაწყვიტეთ {l}{7x+3y=4}{2x+4y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 3 y = 4 } \\ { 2 x + 4 y = 8 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-\frac{4}{11}\approx -0.363636364$$

$$y = \frac{24}{11} = 2\frac{2}{11} \approx 2.181818182$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$7x+3y=4,2x+4y=8$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$7x+3y=4$$

გამოაკელით 3y განტოლების ორივე მხარეს.

$$7x=-3y+4$$

ორივე მხარე გაყავით 7-ზე.

$$x=\frac{1}{7}\left(-3y+4\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{7}-ზე -3y+4.

$$x=-\frac{3}{7}y+\frac{4}{7}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-3y+4}{7}-ით x მეორე განტოლებაში, 2x+4y=8.

$$2\left(-\frac{3}{7}y+\frac{4}{7}\right)+4y=8$$

გაამრავლეთ 2-ზე \frac{-3y+4}{7}.

$$-\frac{6}{7}y+\frac{8}{7}+4y=8$$

მიუმატეთ -\frac{6y}{7} 4y-ს.

$$\frac{22}{7}y+\frac{8}{7}=8$$

გამოაკელით \frac{8}{7} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{22}{7}y=\frac{48}{7}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{22}{7}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=\frac{24}{11}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{24}{11}-ით y აქ: x=-\frac{3}{7}y+\frac{4}{7}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{3}{7}\times \frac{24}{11}+\frac{4}{7}$$

გაამრავლეთ -\frac{3}{7}-ზე \frac{24}{11} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=-\frac{72}{77}+\frac{4}{7}$$

მიუმატეთ \frac{4}{7} -\frac{72}{77}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=-\frac{4}{11}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{4}{11},y=\frac{24}{11}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$7x+3y=4,2x+4y=8$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}7&3\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}7&3\\2&4\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&3\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7\times 4-3\times 2}&-\frac{3}{7\times 4-3\times 2}\\-\frac{2}{7\times 4-3\times 2}&\frac{7}{7\times 4-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&-\frac{3}{22}\\-\frac{1}{11}&\frac{7}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 4-\frac{3}{22}\times 8\\-\frac{1}{11}\times 4+\frac{7}{22}\times 8\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{11}\\\frac{24}{11}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-\frac{4}{11},y=\frac{24}{11}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$7x+3y=4,2x+4y=8$$

იმისათვის, რომ 7x და 2x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 7-ზე.

$$2\times 7x+2\times 3y=2\times 4,7\times 2x+7\times 4y=7\times 8$$

გაამარტივეთ.

$$14x+6y=8,14x+28y=56$$

გამოაკელით 14x+28y=56 14x+6y=8-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$14x-14x+6y-28y=8-56$$

მიუმატეთ 14x -14x-ს. პირობები 14x და -14x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$6y-28y=8-56$$

მიუმატეთ 6y -28y-ს.

$$-22y=8-56$$

მიუმატეთ 8 -56-ს.

$$-22y=-48$$

ორივე მხარე გაყავით -22-ზე.

$$y=\frac{24}{11}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{24}{11}-ით y აქ: 2x+4y=8. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$2x+4\times \frac{24}{11}=8$$

გაამრავლეთ 4-ზე \frac{24}{11}.

$$2x+\frac{96}{11}=8$$

გამოაკელით \frac{96}{11} განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=-\frac{8}{11}$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=-\frac{4}{11}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{4}{11},y=\frac{24}{11}$$