გადაწყვიტეთ {l}{7w+2z=16}{5w=2z+8}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 w + 2 z = 16 } \\ { 5 w = 2 z + 8 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა w, z-ისთვის

$$z=1$$

$$w=2$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 2z ორივე მხარეს.

$$5w-2z=8$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$7w+2z=16,5w-2z=8$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი w-ისთვის, w-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$7w+2z=16$$

გამოაკელით 2z განტოლების ორივე მხარეს.

$$7w=-2z+16$$

ორივე მხარე გაყავით 7-ზე.

$$w=\frac{1}{7}\left(-2z+16\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{7}-ზე -2z+16.

$$w=-\frac{2}{7}z+\frac{16}{7}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-2z+16}{7}-ით w მეორე განტოლებაში, 5w-2z=8.

$$5\left(-\frac{2}{7}z+\frac{16}{7}\right)-2z=8$$

გაამრავლეთ 5-ზე \frac{-2z+16}{7}.

$$-\frac{10}{7}z+\frac{80}{7}-2z=8$$

მიუმატეთ -\frac{10z}{7} -2z-ს.

$$-\frac{24}{7}z+\frac{80}{7}=8$$

გამოაკელით \frac{80}{7} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{24}{7}z=-\frac{24}{7}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{24}{7}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$z=1$$

ჩაანაცვლეთ 1-ით z აქ: w=-\frac{2}{7}z+\frac{16}{7}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ w.

$$w=\frac{-2+16}{7}$$

მიუმატეთ \frac{16}{7} -\frac{2}{7}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$w=2$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$w=2,z=1$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 2z ორივე მხარეს.

$$5w-2z=8$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$7w+2z=16,5w-2z=8$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7\left(-2\right)-2\times 5}&-\frac{2}{7\left(-2\right)-2\times 5}\\-\frac{5}{7\left(-2\right)-2\times 5}&\frac{7}{7\left(-2\right)-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}&\frac{1}{12}\\\frac{5}{24}&-\frac{7}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}\times 16+\frac{1}{12}\times 8\\\frac{5}{24}\times 16-\frac{7}{24}\times 8\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - w და z.

$$w=2,z=1$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით 2z ორივე მხარეს.

$$5w-2z=8$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$7w+2z=16,5w-2z=8$$

იმისათვის, რომ 7w და 5w ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 5-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 7-ზე.

$$5\times 7w+5\times 2z=5\times 16,7\times 5w+7\left(-2\right)z=7\times 8$$

გაამარტივეთ.

$$35w+10z=80,35w-14z=56$$

გამოაკელით 35w-14z=56 35w+10z=80-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$35w-35w+10z+14z=80-56$$

მიუმატეთ 35w -35w-ს. პირობები 35w და -35w გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$10z+14z=80-56$$

მიუმატეთ 10z 14z-ს.

$$24z=80-56$$

მიუმატეთ 80 -56-ს.

$$24z=24$$

ორივე მხარე გაყავით 24-ზე.

$$z=1$$

ჩაანაცვლეთ 1-ით z აქ: 5w-2z=8. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ w.

$$5w-2=8$$

მიუმატეთ 2 განტოლების ორივე მხარეს.

$$5w=10$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$w=2$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$w=2,z=1$$