გადაწყვიტეთ {l}{62x+y=44}{34x-y=36}

$$\left. \begin{array} { l } { 62 x + y = 44 } \\ { 34 x - y = 36 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

$$y = -\frac{23}{3} = -7\frac{2}{3} \approx -7.666666667$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$62x+y=44,34x-y=36$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$62x+y=44$$

გამოაკელით y განტოლების ორივე მხარეს.

$$62x=-y+44$$

ორივე მხარე გაყავით 62-ზე.

$$x=\frac{1}{62}\left(-y+44\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{62}-ზე -y+44.

$$x=-\frac{1}{62}y+\frac{22}{31}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{y}{62}+\frac{22}{31}-ით x მეორე განტოლებაში, 34x-y=36.

$$34\left(-\frac{1}{62}y+\frac{22}{31}\right)-y=36$$

გაამრავლეთ 34-ზე -\frac{y}{62}+\frac{22}{31}.

$$-\frac{17}{31}y+\frac{748}{31}-y=36$$

მიუმატეთ -\frac{17y}{31} -y-ს.

$$-\frac{48}{31}y+\frac{748}{31}=36$$

გამოაკელით \frac{748}{31} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{48}{31}y=\frac{368}{31}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{48}{31}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-\frac{23}{3}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{23}{3}-ით y აქ: x=-\frac{1}{62}y+\frac{22}{31}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{1}{62}\left(-\frac{23}{3}\right)+\frac{22}{31}$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{62}-ზე -\frac{23}{3} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=\frac{23}{186}+\frac{22}{31}$$

მიუმატეთ \frac{22}{31} \frac{23}{186}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=\frac{5}{6}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{5}{6},y=-\frac{23}{3}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$62x+y=44,34x-y=36$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}44\\36\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\36\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\36\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\36\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{62\left(-1\right)-34}&-\frac{1}{62\left(-1\right)-34}\\-\frac{34}{62\left(-1\right)-34}&\frac{62}{62\left(-1\right)-34}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\36\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{96}&\frac{1}{96}\\\frac{17}{48}&-\frac{31}{48}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\36\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{96}\times 44+\frac{1}{96}\times 36\\\frac{17}{48}\times 44-\frac{31}{48}\times 36\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}\\-\frac{23}{3}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{5}{6},y=-\frac{23}{3}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$62x+y=44,34x-y=36$$

იმისათვის, რომ 62x და 34x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 34-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 62-ზე.

$$34\times 62x+34y=34\times 44,62\times 34x+62\left(-1\right)y=62\times 36$$

გაამარტივეთ.

$$2108x+34y=1496,2108x-62y=2232$$

გამოაკელით 2108x-62y=2232 2108x+34y=1496-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$2108x-2108x+34y+62y=1496-2232$$

მიუმატეთ 2108x -2108x-ს. პირობები 2108x და -2108x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$34y+62y=1496-2232$$

მიუმატეთ 34y 62y-ს.

$$96y=1496-2232$$

მიუმატეთ 1496 -2232-ს.

$$96y=-736$$

ორივე მხარე გაყავით 96-ზე.

$$y=-\frac{23}{3}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{23}{3}-ით y აქ: 34x-y=36. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$34x-\left(-\frac{23}{3}\right)=36$$

გამოაკელით \frac{23}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$34x=\frac{85}{3}$$

ორივე მხარე გაყავით 34-ზე.

$$x=\frac{5}{6}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{5}{6},y=-\frac{23}{3}$$