გადაწყვიტეთ {l}{6.5x+y=9}{1.6x+0.2y=13}

$$\left. \begin{array} { l } { 6.5 x + y = 9 } \\ { 1.6 x + 0.2 y = 13 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{112}{3} = 37\frac{1}{3} \approx 37.333333333$$

$$y = -\frac{701}{3} = -233\frac{2}{3} \approx -233.666666667$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$6.5x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$6.5x+y=9$$

გამოაკელით y განტოლების ორივე მხარეს.

$$6.5x=-y+9$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით 6.5-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x=\frac{2}{13}\left(-y+9\right)$$

გაამრავლეთ \frac{2}{13}-ზე -y+9.

$$x=-\frac{2}{13}y+\frac{18}{13}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-2y+18}{13}-ით x მეორე განტოლებაში, 1.6x+0.2y=13.

$$1.6\left(-\frac{2}{13}y+\frac{18}{13}\right)+0.2y=13$$

გაამრავლეთ 1.6-ზე \frac{-2y+18}{13}.

$$-\frac{16}{65}y+\frac{144}{65}+0.2y=13$$

მიუმატეთ -\frac{16y}{65} \frac{y}{5}-ს.

$$-\frac{3}{65}y+\frac{144}{65}=13$$

გამოაკელით \frac{144}{65} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{3}{65}y=\frac{701}{65}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{3}{65}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-\frac{701}{3}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{701}{3}-ით y აქ: x=-\frac{2}{13}y+\frac{18}{13}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{2}{13}\left(-\frac{701}{3}\right)+\frac{18}{13}$$

გაამრავლეთ -\frac{2}{13}-ზე -\frac{701}{3} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=\frac{1402}{39}+\frac{18}{13}$$

მიუმატეთ \frac{18}{13} \frac{1402}{39}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=\frac{112}{3}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{112}{3},y=-\frac{701}{3}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$6.5x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}6.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}6.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.2}{6.5\times 0.2-1.6}&-\frac{1}{6.5\times 0.2-1.6}\\-\frac{1.6}{6.5\times 0.2-1.6}&\frac{6.5}{6.5\times 0.2-1.6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}&\frac{10}{3}\\\frac{16}{3}&-\frac{65}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\times 9+\frac{10}{3}\times 13\\\frac{16}{3}\times 9-\frac{65}{3}\times 13\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{112}{3}\\-\frac{701}{3}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{112}{3},y=-\frac{701}{3}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$6.5x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

იმისათვის, რომ \frac{13x}{2} და \frac{8x}{5} ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 1.6-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 6.5-ზე.

$$1.6\times 6.5x+1.6y=1.6\times 9,6.5\times 1.6x+6.5\times 0.2y=6.5\times 13$$

გაამარტივეთ.

$$10.4x+1.6y=14.4,10.4x+1.3y=84.5$$

გამოაკელით 10.4x+1.3y=84.5 10.4x+1.6y=14.4-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$10.4x-10.4x+1.6y-1.3y=14.4-84.5$$

მიუმატეთ \frac{52x}{5} -\frac{52x}{5}-ს. პირობები \frac{52x}{5} და -\frac{52x}{5} გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$1.6y-1.3y=14.4-84.5$$

მიუმატეთ \frac{8y}{5} -\frac{13y}{10}-ს.

$$0.3y=14.4-84.5$$

მიუმატეთ 14.4 -84.5-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$0.3y=-70.1$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით 0.3-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-\frac{701}{3}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{701}{3}-ით y აქ: 1.6x+0.2y=13. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$1.6x+0.2\left(-\frac{701}{3}\right)=13$$

გაამრავლეთ 0.2-ზე -\frac{701}{3} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$1.6x-\frac{701}{15}=13$$

მიუმატეთ \frac{701}{15} განტოლების ორივე მხარეს.

$$1.6x=\frac{896}{15}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით 1.6-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x=\frac{112}{3}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{112}{3},y=-\frac{701}{3}$$