გადაწყვიტეთ {l}{6y+4x=27}{x+y=50}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 y + 4 x = 27 } \\ { x + y = 50 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა y, x-ისთვის

$$x = \frac{273}{2} = 136\frac{1}{2} = 136.5$$

$$y = -\frac{173}{2} = -86\frac{1}{2} = -86.5$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$6y+4x=27,y+x=50$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი y-ისთვის, y-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$6y+4x=27$$

გამოაკელით 4x განტოლების ორივე მხარეს.

$$6y=-4x+27$$

ორივე მხარე გაყავით 6-ზე.

$$y=\frac{1}{6}\left(-4x+27\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{6}-ზე -4x+27.

$$y=-\frac{2}{3}x+\frac{9}{2}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{2x}{3}+\frac{9}{2}-ით y მეორე განტოლებაში, y+x=50.

$$-\frac{2}{3}x+\frac{9}{2}+x=50$$

მიუმატეთ -\frac{2x}{3} x-ს.

$$\frac{1}{3}x+\frac{9}{2}=50$$

გამოაკელით \frac{9}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{1}{3}x=\frac{91}{2}$$

ორივე მხარე გაამრავლეთ 3-ზე.

$$x=\frac{273}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{273}{2}-ით x აქ: y=-\frac{2}{3}x+\frac{9}{2}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$y=-\frac{2}{3}\times \frac{273}{2}+\frac{9}{2}$$

გაამრავლეთ -\frac{2}{3}-ზე \frac{273}{2} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$y=-91+\frac{9}{2}$$

მიუმატეთ \frac{9}{2} -91-ს.

$$y=-\frac{173}{2}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=-\frac{173}{2},x=\frac{273}{2}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$6y+4x=27,y+x=50$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}27\\50\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\50\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\50\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\50\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6-4}&-\frac{4}{6-4}\\-\frac{1}{6-4}&\frac{6}{6-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\50\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-2\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\50\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 27-2\times 50\\-\frac{1}{2}\times 27+3\times 50\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{173}{2}\\\frac{273}{2}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - y და x.

$$y=-\frac{173}{2},x=\frac{273}{2}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$6y+4x=27,y+x=50$$

იმისათვის, რომ 6y და y ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 6-ზე.

$$6y+4x=27,6y+6x=6\times 50$$

გაამარტივეთ.

$$6y+4x=27,6y+6x=300$$

გამოაკელით 6y+6x=300 6y+4x=27-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$6y-6y+4x-6x=27-300$$

მიუმატეთ 6y -6y-ს. პირობები 6y და -6y გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$4x-6x=27-300$$

მიუმატეთ 4x -6x-ს.

$$-2x=27-300$$

მიუმატეთ 27 -300-ს.

$$-2x=-273$$

ორივე მხარე გაყავით -2-ზე.

$$x=\frac{273}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{273}{2}-ით x აქ: y+x=50. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ y.

$$y+\frac{273}{2}=50$$

გამოაკელით \frac{273}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$y=-\frac{173}{2}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$y=-\frac{173}{2},x=\frac{273}{2}$$