გადაწყვიტეთ {l}{6x+5y=74}{-7x+2y=-8}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x + 5 y = 74 } \\ { - 7 x + 2 y = - 8 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=4$$

$$y=10$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$6x+5y=74,-7x+2y=-8$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$6x+5y=74$$

გამოაკელით 5y განტოლების ორივე მხარეს.

$$6x=-5y+74$$

ორივე მხარე გაყავით 6-ზე.

$$x=\frac{1}{6}\left(-5y+74\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{6}-ზე -5y+74.

$$x=-\frac{5}{6}y+\frac{37}{3}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{5y}{6}+\frac{37}{3}-ით x მეორე განტოლებაში, -7x+2y=-8.

$$-7\left(-\frac{5}{6}y+\frac{37}{3}\right)+2y=-8$$

გაამრავლეთ -7-ზე -\frac{5y}{6}+\frac{37}{3}.

$$\frac{35}{6}y-\frac{259}{3}+2y=-8$$

მიუმატეთ \frac{35y}{6} 2y-ს.

$$\frac{47}{6}y-\frac{259}{3}=-8$$

მიუმატეთ \frac{259}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{47}{6}y=\frac{235}{3}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{47}{6}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=10$$

ჩაანაცვლეთ 10-ით y აქ: x=-\frac{5}{6}y+\frac{37}{3}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{5}{6}\times 10+\frac{37}{3}$$

გაამრავლეთ -\frac{5}{6}-ზე 10.

$$x=\frac{-25+37}{3}$$

მიუმატეთ \frac{37}{3} -\frac{25}{3}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=4$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=4,y=10$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$6x+5y=74,-7x+2y=-8$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}6&5\\-7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}74\\-8\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}6&5\\-7&2\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\-7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&5\\-7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\-7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}74\\-8\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\-7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}74\\-8\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\-7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}74\\-8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{6\times 2-5\left(-7\right)}&-\frac{5}{6\times 2-5\left(-7\right)}\\-\frac{-7}{6\times 2-5\left(-7\right)}&\frac{6}{6\times 2-5\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}74\\-8\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{47}&-\frac{5}{47}\\\frac{7}{47}&\frac{6}{47}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}74\\-8\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{47}\times 74-\frac{5}{47}\left(-8\right)\\\frac{7}{47}\times 74+\frac{6}{47}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=4,y=10$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$6x+5y=74,-7x+2y=-8$$

იმისათვის, რომ 6x და -7x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს -7-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 6-ზე.

$$-7\times 6x-7\times 5y=-7\times 74,6\left(-7\right)x+6\times 2y=6\left(-8\right)$$

გაამარტივეთ.

$$-42x-35y=-518,-42x+12y=-48$$

გამოაკელით -42x+12y=-48 -42x-35y=-518-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-42x+42x-35y-12y=-518+48$$

მიუმატეთ -42x 42x-ს. პირობები -42x და 42x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-35y-12y=-518+48$$

მიუმატეთ -35y -12y-ს.

$$-47y=-518+48$$

მიუმატეთ -518 48-ს.

$$-47y=-470$$

ორივე მხარე გაყავით -47-ზე.

$$y=10$$

ჩაანაცვლეთ 10-ით y აქ: -7x+2y=-8. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$-7x+2\times 10=-8$$

გაამრავლეთ 2-ზე 10.

$$-7x+20=-8$$

გამოაკელით 20 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-7x=-28$$

ორივე მხარე გაყავით -7-ზე.

$$x=4$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=4,y=10$$