გადაწყვიტეთ {l}{6x+5y=5600}{55x+46y=51400}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x + 5 y = 5600 } \\ { 55 x + 46 y = 51400 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=600$$

$$y=400$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$6x+5y=5600,55x+46y=51400$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$6x+5y=5600$$

გამოაკელით 5y განტოლების ორივე მხარეს.

$$6x=-5y+5600$$

ორივე მხარე გაყავით 6-ზე.

$$x=\frac{1}{6}\left(-5y+5600\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{6}-ზე -5y+5600.

$$x=-\frac{5}{6}y+\frac{2800}{3}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{5y}{6}+\frac{2800}{3}-ით x მეორე განტოლებაში, 55x+46y=51400.

$$55\left(-\frac{5}{6}y+\frac{2800}{3}\right)+46y=51400$$

გაამრავლეთ 55-ზე -\frac{5y}{6}+\frac{2800}{3}.

$$-\frac{275}{6}y+\frac{154000}{3}+46y=51400$$

მიუმატეთ -\frac{275y}{6} 46y-ს.

$$\frac{1}{6}y+\frac{154000}{3}=51400$$

გამოაკელით \frac{154000}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{1}{6}y=\frac{200}{3}$$

ორივე მხარე გაამრავლეთ 6-ზე.

$$y=400$$

ჩაანაცვლეთ 400-ით y აქ: x=-\frac{5}{6}y+\frac{2800}{3}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{5}{6}\times 400+\frac{2800}{3}$$

გაამრავლეთ -\frac{5}{6}-ზე 400.

$$x=\frac{-1000+2800}{3}$$

მიუმატეთ \frac{2800}{3} -\frac{1000}{3}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=600$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=600,y=400$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$6x+5y=5600,55x+46y=51400$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}6&5\\55&46\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5600\\51400\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}6&5\\55&46\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\55&46\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&5\\55&46\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\55&46\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5600\\51400\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\55&46\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5600\\51400\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\55&46\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5600\\51400\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{46}{6\times 46-5\times 55}&-\frac{5}{6\times 46-5\times 55}\\-\frac{55}{6\times 46-5\times 55}&\frac{6}{6\times 46-5\times 55}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5600\\51400\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}46&-5\\-55&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5600\\51400\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}46\times 5600-5\times 51400\\-55\times 5600+6\times 51400\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}600\\400\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=600,y=400$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$6x+5y=5600,55x+46y=51400$$

იმისათვის, რომ 6x და 55x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 55-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 6-ზე.

$$55\times 6x+55\times 5y=55\times 5600,6\times 55x+6\times 46y=6\times 51400$$

გაამარტივეთ.

$$330x+275y=308000,330x+276y=308400$$

გამოაკელით 330x+276y=308400 330x+275y=308000-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$330x-330x+275y-276y=308000-308400$$

მიუმატეთ 330x -330x-ს. პირობები 330x და -330x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$275y-276y=308000-308400$$

მიუმატეთ 275y -276y-ს.

$$-y=308000-308400$$

მიუმატეთ 308000 -308400-ს.

$$-y=-400$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$y=400$$

ჩაანაცვლეთ 400-ით y აქ: 55x+46y=51400. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$55x+46\times 400=51400$$

გაამრავლეთ 46-ზე 400.

$$55x+18400=51400$$

გამოაკელით 18400 განტოლების ორივე მხარეს.

$$55x=33000$$

ორივე მხარე გაყავით 55-ზე.

$$x=600$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=600,y=400$$