გადაწყვიტეთ {l}{6x+5y=4}{6x-7y=-20}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x + 5 y = 4 } \\ { 6 x - 7 y = - 20 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-1$$

$$y=2$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$6x+5y=4,6x-7y=-20$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$6x+5y=4$$

გამოაკელით 5y განტოლების ორივე მხარეს.

$$6x=-5y+4$$

ორივე მხარე გაყავით 6-ზე.

$$x=\frac{1}{6}\left(-5y+4\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{6}-ზე -5y+4.

$$x=-\frac{5}{6}y+\frac{2}{3}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{5y}{6}+\frac{2}{3}-ით x მეორე განტოლებაში, 6x-7y=-20.

$$6\left(-\frac{5}{6}y+\frac{2}{3}\right)-7y=-20$$

გაამრავლეთ 6-ზე -\frac{5y}{6}+\frac{2}{3}.

$$-5y+4-7y=-20$$

მიუმატეთ -5y -7y-ს.

$$-12y+4=-20$$

გამოაკელით 4 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-12y=-24$$

ორივე მხარე გაყავით -12-ზე.

$$y=2$$

ჩაანაცვლეთ 2-ით y აქ: x=-\frac{5}{6}y+\frac{2}{3}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{5}{6}\times 2+\frac{2}{3}$$

გაამრავლეთ -\frac{5}{6}-ზე 2.

$$x=\frac{-5+2}{3}$$

მიუმატეთ \frac{2}{3} -\frac{5}{3}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=-1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-1,y=2$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$6x+5y=4,6x-7y=-20$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}6&5\\6&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-20\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}6&5\\6&-7\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\6&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&5\\6&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\6&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-20\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\6&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-20\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\6&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{6\left(-7\right)-5\times 6}&-\frac{5}{6\left(-7\right)-5\times 6}\\-\frac{6}{6\left(-7\right)-5\times 6}&\frac{6}{6\left(-7\right)-5\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-20\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{72}&\frac{5}{72}\\\frac{1}{12}&-\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-20\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{72}\times 4+\frac{5}{72}\left(-20\right)\\\frac{1}{12}\times 4-\frac{1}{12}\left(-20\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-1,y=2$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$6x+5y=4,6x-7y=-20$$

გამოაკელით 6x-7y=-20 6x+5y=4-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$6x-6x+5y+7y=4+20$$

მიუმატეთ 6x -6x-ს. პირობები 6x და -6x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$5y+7y=4+20$$

მიუმატეთ 5y 7y-ს.

$$12y=4+20$$

მიუმატეთ 4 20-ს.

$$12y=24$$

ორივე მხარე გაყავით 12-ზე.

$$y=2$$

ჩაანაცვლეთ 2-ით y აქ: 6x-7y=-20. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$6x-7\times 2=-20$$

გაამრავლეთ -7-ზე 2.

$$6x-14=-20$$

მიუმატეთ 14 განტოლების ორივე მხარეს.

$$6x=-6$$

ორივე მხარე გაყავით 6-ზე.

$$x=-1$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-1,y=2$$