გადაწყვიტეთ {l}{6x+5y=27}{2x+y=13}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x + 5 y = 27 } \\ { 2 x + y = 13 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{19}{2} = 9\frac{1}{2} = 9.5$$

$$y=-6$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$6x+5y=27,2x+y=13$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$6x+5y=27$$

გამოაკელით 5y განტოლების ორივე მხარეს.

$$6x=-5y+27$$

ორივე მხარე გაყავით 6-ზე.

$$x=\frac{1}{6}\left(-5y+27\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{6}-ზე -5y+27.

$$x=-\frac{5}{6}y+\frac{9}{2}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{5y}{6}+\frac{9}{2}-ით x მეორე განტოლებაში, 2x+y=13.

$$2\left(-\frac{5}{6}y+\frac{9}{2}\right)+y=13$$

გაამრავლეთ 2-ზე -\frac{5y}{6}+\frac{9}{2}.

$$-\frac{5}{3}y+9+y=13$$

მიუმატეთ -\frac{5y}{3} y-ს.

$$-\frac{2}{3}y+9=13$$

გამოაკელით 9 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{2}{3}y=4$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{2}{3}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=-6$$

ჩაანაცვლეთ -6-ით y აქ: x=-\frac{5}{6}y+\frac{9}{2}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{5}{6}\left(-6\right)+\frac{9}{2}$$

გაამრავლეთ -\frac{5}{6}-ზე -6.

$$x=5+\frac{9}{2}$$

მიუმატეთ \frac{9}{2} 5-ს.

$$x=\frac{19}{2}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{19}{2},y=-6$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$6x+5y=27,2x+y=13$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}6&5\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}27\\13\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}6&5\\2&1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&5\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\13\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\13\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\13\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6-5\times 2}&-\frac{5}{6-5\times 2}\\-\frac{2}{6-5\times 2}&\frac{6}{6-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\13\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{5}{4}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\13\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 27+\frac{5}{4}\times 13\\\frac{1}{2}\times 27-\frac{3}{2}\times 13\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{2}\\-6\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{19}{2},y=-6$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$6x+5y=27,2x+y=13$$

იმისათვის, რომ 6x და 2x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 6-ზე.

$$2\times 6x+2\times 5y=2\times 27,6\times 2x+6y=6\times 13$$

გაამარტივეთ.

$$12x+10y=54,12x+6y=78$$

გამოაკელით 12x+6y=78 12x+10y=54-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$12x-12x+10y-6y=54-78$$

მიუმატეთ 12x -12x-ს. პირობები 12x და -12x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$10y-6y=54-78$$

მიუმატეთ 10y -6y-ს.

$$4y=54-78$$

მიუმატეთ 54 -78-ს.

$$4y=-24$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$y=-6$$

ჩაანაცვლეთ -6-ით y აქ: 2x+y=13. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$2x-6=13$$

მიუმატეთ 6 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=19$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=\frac{19}{2}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{19}{2},y=-6$$