გადაწყვიტეთ {l}{6x+3y=25.95}{4x+6y=26.70}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x + 3 y = 25.95 } \\ { 4 x + 6 y = 26.70 } \end{array} \right.$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=3.15$$

$$y=2.35$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$6x+3y=25.95,4x+6y=26.7$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$6x+3y=25.95$$

გამოაკელით 3y განტოლების ორივე მხარეს.

$$6x=-3y+25.95$$

ორივე მხარე გაყავით 6-ზე.

$$x=\frac{1}{6}\left(-3y+25.95\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{6}-ზე -3y+25.95.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{173}{40}$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{y}{2}+\frac{173}{40}-ით x მეორე განტოლებაში, 4x+6y=26.7.

$$4\left(-\frac{1}{2}y+\frac{173}{40}\right)+6y=26.7$$

გაამრავლეთ 4-ზე -\frac{y}{2}+\frac{173}{40}.

$$-2y+\frac{173}{10}+6y=26.7$$

მიუმატეთ -2y 6y-ს.

$$4y+\frac{173}{10}=26.7$$

გამოაკელით \frac{173}{10} განტოლების ორივე მხარეს.

$$4y=\frac{47}{5}$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$y=\frac{47}{20}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{47}{20}-ით y აქ: x=-\frac{1}{2}y+\frac{173}{40}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{47}{20}+\frac{173}{40}$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{2}-ზე \frac{47}{20} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=\frac{-47+173}{40}$$

მიუმატეთ \frac{173}{40} -\frac{47}{40}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=\frac{63}{20}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{63}{20},y=\frac{47}{20}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$6x+3y=25.95,4x+6y=26.7$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{6\times 6-3\times 4}&-\frac{3}{6\times 6-3\times 4}\\-\frac{4}{6\times 6-3\times 4}&\frac{6}{6\times 6-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{8}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 25.95-\frac{1}{8}\times 26.7\\-\frac{1}{6}\times 25.95+\frac{1}{4}\times 26.7\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{63}{20}\\\frac{47}{20}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{63}{20},y=\frac{47}{20}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$6x+3y=25.95,4x+6y=26.7$$

იმისათვის, რომ 6x და 4x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 4-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 6-ზე.

$$4\times 6x+4\times 3y=4\times 25.95,6\times 4x+6\times 6y=6\times 26.7$$

გაამარტივეთ.

$$24x+12y=103.8,24x+36y=160.2$$

გამოაკელით 24x+36y=160.2 24x+12y=103.8-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$24x-24x+12y-36y=\frac{519-801}{5}$$

მიუმატეთ 24x -24x-ს. პირობები 24x და -24x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$12y-36y=\frac{519-801}{5}$$

მიუმატეთ 12y -36y-ს.

$$-24y=\frac{519-801}{5}$$

მიუმატეთ 103.8 -160.2-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$-24y=-56.4$$

ორივე მხარე გაყავით -24-ზე.

$$y=\frac{47}{20}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{47}{20}-ით y აქ: 4x+6y=26.7. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$4x+6\times \frac{47}{20}=26.7$$

გაამრავლეთ 6-ზე \frac{47}{20}.

$$4x+\frac{141}{10}=26.7$$

გამოაკელით \frac{141}{10} განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x=\frac{63}{5}$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$x=\frac{63}{20}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{63}{20},y=\frac{47}{20}$$